Funció de Cantor: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Correcció menor |
Modificació gràfics. Aproximació de la funció de Cantor per una successió de funcions |
||
Línia 1:
La funció de Cantor, que es construeix a partir del [[conjunt de Cantor]], [[Fitxer:CantorEscalier-2.svg|300x300px|miniatura|Figura 1. Gràfic aproximat de la funció de Cantor]] és una funció <math>F:[0,1]\longrightarrow [0,1]</math> contínua, no decreixent, amb <math>F(0)=0 \ \text{i} \ F(1)=1</math>, però amb derivada zero en quasi tots els punts. Es considera una funció ''patològica'' perquè aquestes propietats semblen incompatibles: ¿com pot ser que vagi del (0,0) al (1,1) amb continuïtat essent localment constant en quasi tots els punts?
Aquesta funció va ser introduïda per [[Georg Cantor|George Cantor]] l'any 1884 <ref>{{Ref-publicació|cognom=Cantor, G.|nom=|article=De la puissance des ensembles parfaits de points|publicació=Acta Mathematica|url=|data=1884|pàgines=Vol. 4, pp. 381-392}}</ref> i permet demostrar que el conjunt de Cantor té el mateix cardinal que l'interval [0,1]; també va servir com contraexemple en l'extensió que en aquell temps s'estava fent del Teorema fonamental del càlcul a funcions discontínues; pels detalls històrics, vegeu <ref>{{Ref-publicació|cognom=Fleron, J. F.|nom=|article=A note on yhe history of the Cantor set and Cantor function|publicació=Mathematics Magazine|url=|data=1994|pàgines=Vol. 67, no. 2, pp. 136_140}}</ref>
Línia 5:
La funció de Cantor també és coneguda com a ''escala del diable'' <ref>{{Ref-llibre|cognom=Mandelbrot, B.|nom=|títol=Los objetos fractales: forma, azar y dimensión|url=|edició=|llengua=|data=1989|editorial=Tusquets|lloc=Barcelona|pàgines=|isbn=}}</ref>.
== Construcció del conjunt de Cantor ==
La funció de Cantor es basa en el [[conjunt de Cantor]]. Per construir aquest conjunt, partim de l'interval [0,1] al que anomenem <math>C_0</math>:<math display="block">C_0=[0,1].</math> A continuació dividim aquest interval en tres parts: <math display="block">C_0=[0,\tfrac{1}{3}]\cup(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3})\cup[\tfrac{2}{3},1].</math> i n'eliminem la part central; el resultat l'anomenem <math>C_1</math>:<math display="block">C_1=[0,\tfrac{1}{3}]\cup[\tfrac{2}{3},1].</math> A la següent iteració fem exactament el mateix procés amb cadascun dels dos intervals que formen <math>C_1</math>: <math display="block">C_2=[0,\tfrac{1}{9}]\cup [\tfrac{2}{9},\tfrac{1}{3}]\cup[\tfrac{2}{3},\tfrac{7}{9}]\cup [\tfrac{8}{9},1].</math>
D'aquesta manera obtenim una successió decreixent de conjunts, vegeu la Figura 1
<math display="block">C_0\supset C_1 \supset C_2\supset\cdots.</math>
El límit d'aquesta successió s'anomena conjunt de Cantor, i el designarem per <math>C</math>; més formalment, <math display="block">C=\bigcap_{n=0}^\infty C_n.</math>
</br>
Linha 21 ⟶ 25:
Per donar una definició explícita de <math>F</math> cal utilitzar que el [[conjunt de Cantor]] està format pels nombres que tenen una [[conjunt de Cantor#Sistema ternari de numeració|expressió ternària]] (en base 3) formada per zeros i dosos :<math display="block"> x\in C \quad \Longleftrightarrow \quad x=(0.x_1x_2\cdots)_3,\quad \text{amb} \quad x_n\in\{0,2\},\ \forall n\ge 1.</math>
Equivalentment, tals que
<math display="block">x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x_n}{3^n},\quad \text{amb} \quad x_n\in\{0,2\},\ \forall n\ge 1.</math>
'''Primer pas: definició de <math>\boldsymbol{F}</math> a''' <math>\boldsymbol{C}</math>
<math display="block">F(x)=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{x_n}{2^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x_n}{2^{n+1}}.\qquad (1) </math>
Alternativament, si escrivim <math>y_n=x_n/2,</math>
Linha 31 ⟶ 35:
Aquesta funció és exhaustiva però no injectiva; per exemple, <math display="block">F(1/3)=F(0.0\overline{2}_3)=0.0\overline{1}_2=1/2.</math>Però també
[[Fitxer:Funcio Cantor sobre el conjunt C.svg|alt=Gràfic aproximat de la funció de Cantor definida en el conjunt C|
<math display="block">F(2/3)=F(0.2_3)=0.1_2=1/2.</math>Vegeu la Figura 2.
<br>'''Segon pas: extensió de <math>\boldsymbol{F}</math> a tot l'interval [0,1]'''
El conjunt <math>[0,1]\backslash C</math> està format pels intervals que hem anat excloent en les diferents etapes. La funció construïda al pas anterior pren el mateix valor en ambdós extrems d'aquests interval. Per exemple. en passar de <math>C_0</math> a <math>C_1</math>, hem suprimit 'interval (1/3,2/3) i tal com hem vist, <math>F(1/3)=F(2/3)=1/2</math> ; llavors, definim, <math>F(x)=1/2</math> sobre tot aquest interval. Anàlogament es fa amb tots els altres intervals. Compareu la Figura
[[Fitxer:Funcio Cantor (aproximada).svg|alt=Funció Cantor (aproximada)|miniatura|Figura
Per ser més concret, si <math>x=(0.x_1x_2\cdots)_3 \not \in C</math> té dues característiques:
Linha 54 ⟶ 58:
</math>
== Aproximació de la funció de Cantor per una successió de funcions senzilles ==
Per a cada nivell <math>n\ge 1</math> designem per <math>E_1^n,E^n_2\dots, E^n_{2^n-1}</math> els intervals que hem suprimit per construir <math>C_1,\dots, C_n</math> . Per exemple, per <math>n=3</math> ,
<math display="block">E^3_1=[\tfrac{1}{27},\tfrac{2}{27}],\, E^3_2=[\tfrac{1}{9},\tfrac{2}{9}],\,
E^3_3=[\tfrac{7}{27},\tfrac{8}{27}],\,
E^3_4=[\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3}],\,
E^3_5=[\tfrac{19}{27},\tfrac{20}{27}],\,
E^3_6=[\tfrac{7}{9},\tfrac{8}{9}],\,
E^3_7=[\tfrac{25}{27},\tfrac{26}{27}].</math>
Definim la funció <math display="block"> F_n(x)
=
\left\{\begin{array}{ll}
0,& \text{si } x=0,\\ \\
\dfrac{k}{2^n},& \text{si } x\in E_k^{n},\quad k=1,\dots, 2^{n}-1,\\ \\
1,& \text{si } x=1.
\end{array}\right.</math>
[[Fitxer:Funcio CantorF3.svg|miniatura|300x300px|Figura 5. Funció F3 que aproxima a la funció Cantor]]
Vegeu la Figura 5. Tenim que <ref>{{Ref-llibre|edició=2nd ed|títol=Probability and measure theory|url=https://www.worldcat.org/oclc/42622245|editorial=Harcourt/Academic Press|data=2000|lloc=San Diego|isbn=0-12-065202-1|cognom=Ash, Robert B.|nom=|llengua=|pàgines=p. 80}}</ref> : <math display="block">\lim_n F_n(x)=F(x), \ \text{per tot}\ x\in [0,1].</math>
Linha 67 ⟶ 90:
Com a conseqüència de les dues propietats anteriors, <math>F</math> és contínua però no absolutament contínua: no es pot escriure com la integral de la seva derivada; és a dir, no existeix una funció <math>f</math> tal que
<math display="block">F(x)=\int_0^xf(t)\,dt. </math>
[[Fitxer:Simetria de la funció de Cantor.svg|alt=La funció de Cantor és simètrica respecte del punt (1/2,1/2)|miniatura|Figura
<br>'''5. El gràfic de la funció <math>\boldsymbol{F}</math> és simètric respecte el punt (1/2,1/2)''' Vegeu la figura
| |||