Usuari:Freutci/absContinua: diferència entre les revisions

En Matemàtiques es defineix la continuïtat absoluta d'una funció real de variable real com una propietat més forta que la continuïtat i la variació afitada. Una funció absolutament contínua queda caracteritzada pel fet de ser la integral indefinida de Lebesgue de la seva derivada (la derivada està definida quasi per tot arreu). Aquesta noció és important en Teoria de la mesura i en Probabilitats.

Recordem que donada una funció <math>g:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}</math> integrable de Lebesgue, s'anomena integral indefinida (de Lebesgue) {{Sfn|Royden|1988|p=104}} de <math>g</math> a la funció <math>f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}</math> definida per <math display="block">f(x)=\int_a^x g(t)\, dt.</math>Aquesta funció <math>f</math> és {{Sfn|Royden|1988|p=105-107}} contínua, de variació afitada i derivable en quasi tots els punts i <math>f'(x)=g(x),\ \text{quasi per tot } x.</math>

: '''1.''' La [[funció de Cantor]] <math>F:[0,1]\longrightarrow [0,1]</math> és contínua, amb derivada 0 en quasi tots el punts. Contradiu la propietat 4 que hem vist anteriorment. Però , a més, és clar que <math>F(x)\ne \int_0^x F'(t)\, dt</math>, ja que aquesta integral és zero. perPer tant, la funció de Cantor és contínua però no absolutament contínua.

: '''12.''' Natanson {{Sfn|Natanson|1964|p=216}} demostra que la funció <math display="block">f(x)=\begin{cases}x\, \cos \frac{\pi}{2x}, & \text{si } 0<x\le 1,\\

\end{cases}</math>és contínua però no té variació finita. perPer tant, no pot ser absolutament contínua. És un altre exemple de funció contínua que no és absolutament contínua.