Usuari:Freutci/distribucio: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 15:
Tenim que <math>\widetilde F_d</math> compleix les propietats 1,2 i 3 de la definició de funcions de distribució, excepte que <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_d(x)=c\le 1</math> . Quan <math>c=1</math> aleshores la variable aleatòria <math>X</math> és discreta i <math>\widetilde F_d=F</math>'''.''' Quan <math>c<1</math> direm que <math>\widetilde F_d</math> és una ''funció de distribució defectiva'' (o impròpia).
Definim ara<math display="block">\widetilde F_c(x)=F(x)-\widetilde F_d(x).</math>Llavors <math>\widetilde F_c</math> també és una funció de distribució, defectiva, si <math>\widetilde F_d\not \equiv 0</math> . Però, a més, com que hem eliminat totes les discontinuïtats de <math>F</math>, tenim que <math>\widetilde F_c</math> és contínua: en tot punt <math>x</math> , <math>\widetilde F_c(x)=\widetilde F_c(x^-).</math>
'''Propietat.''' Tota funció de distribució descomposa de forma única en suma de dues funcions de distribució (defectives), <math display="block">F=\widetilde F_c+\widetilde F_d,</math>on <math>\widetilde F_c</math> és contínua i <math>\widetilde F_d</math> una funció discreta.
Línia 32:
'''Definició.''' Direm que una funció de distribució <math>F</math> és singular si <math>F'(x)=0</math> en quasi tots els punts.
'''Observació.''' Qualsevol funció de distribució esglaonada (per exemple, la d'una variable binomial o Poisson) és singular. El que és interessant és que existeixen distribucions contínues singulars:
==== Funcions de distribució absolutament contínues ====
Línia 55:
Igual que hem fet amb la primera descomposició,si suposem <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_d(x)=c\in (0,1)</math> i <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_{sc}(x)=d\in (0,1)</math> podem definir <math display="block">F_{sd}=\frac{1}{d}\, \widetilde F_{sd} \quad \text{i}\quad F_s=\frac{1}{1-d}\, \widetilde F_s, </math>
i llavors tenim <math display="block">F=\alpha\, F_d+\beta F_{sd}+\gamma F_{s}, </math>on <math display="block">\alpha=1-c,\quad \beta=c\, d\quad \text{i}\quad \gamma=c\,(1-d).</math> Fem uns convenis a la primera descomposició quan <math>c</math> i <math>d</math> són 0 o 1.
'''Teorema'''{{sfn|Chung|2001|p=12}} {{sfn|Athreya|2006|p=134}}. Sigui <math>F</math> una funció de distribució. Aleshores <math>F</math> descomposa de forma única com a suma (combinació convexa) de tres funcions de distribució, una discreta, una absolutament contínua i una singular contínua: <math display="block">F=\alpha\, F_d+\beta F_{sd}+\gamma F_{s}, </math>amb <math>\alpha+\beta+\gamma=1</math>.
Línia 66:
: - Si <math>\alpha=0 \ \text{i}\ \gamma=0</math> llavors <math>F</math> és una funció de distribució absolutament contínua.
: - Si <math>\alpha=0 \ \text{i}\ \beta=0</math> llavors <math>F</math> és una funció de distribució singular contínua.
===== Exemple =====
Considerem de nou l'exemple que hem vist de la variable aleatòria de tipus mixt. La seva funció de distribució és <math display="block">
F(x)=\begin{cases}
0,& \text{si}\ x<0,\\
\dfrac{1}{2}, &\text{si}\ x=0,\\
\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{2},& \text{si}\ 0< x\le 1,\\
1,& \text{si}\ x\ge 1.
\end{cases}
</math>(vegeu la Figura).Té una discontinuïtat en el punt 0, amb un salt d'altura 1/2. Llavors,
<math display="block">\widetilde F_d(x)=\begin{cases} 0, & \text{si } x<0,\\
\dfrac{1}{2}, & \text{si } x\ge 0.
\end{cases}</math>Notem que es tracta d'una funció de distribució defectiva ja que <math>\lim_{x\to \infty} \widetilde F_d(x)=1/2</math>. La part absolutament contínua ve donada per la ''densitat'' (defectiva, ja que la seva integral sobre tot <math>\mathbb{R}</math> no és 1)<math display="block">\widetilde f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{2},& \text{si } x\in (0,1),\\
0,& \text{en cas contrari.}
\end{cases}</math>Aleshores, <math display="block">F(x)=\frac{1}{2} F_d(x)+\frac{1}{2}F_{ac}(x),</math>on <math display="block">F_d(x)=\begin{cases} 0, & \text{si } x<0,\\
1, & \text{si } x\ge 0.
\end{cases}</math>i <math>F_{as}</math>té funció de densitat <math display="block">f(x)=\begin{cases}1,& \text{si } x\in [0,1],\\
0,& \text{en cas contrari.}
\end{cases}</math>
Així, <math display="block">F_{ac}(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\, dt=\begin{cases} 0, &\text{si } x\le 0,\\
x, &\text{si } x\in (0,1) ,\\
1, &\text{si } x\ge 1.
\end{cases}</math>'''Interpretació probabilística de la descomposició.''' La funció de distribució discreta <math>F_d</math> correspon a una variable aleatòria degenerada en el zero. La funció <math>F_{as}</math> correspon a una variable uniforme en l'interval <math>(0,1)</math>. Sigui <math>U</math> una variable aleatòria uniforme en l'interval <math>(0,1)</math> i sigui <math>R</math> una variable aleatòria de Bernoulli de paràmetre p=1/2, independent de <math>U</math> : <math display="block">P(R=0)=P(R=1)=\frac{1}{2}.</math>Aleshores la variable aleatòria <math display="block">X=\begin{cases} 0,& \text{si } R=0,\\
U,& \text{si } R=1,
\end{cases}</math>té funció de distribució <math>F</math> .
{{Demostració|1=Designem per <math>F_X</math> la funció de distribució de <math>X</math>. Volem veure que <math>F_X=F.</math> Si <math>x\le 0</math>, és clar que <math>F_X(x)=0</math>, i si <math>x\ge 0</math>, que <math>F_X(x)=1</math>. Per tots els altres casos aplicarem el teorema de les probabilitats totals. Així,
<center> <math>F_X(0)= P(X\le 0)=P(X\le 0|R=0)\, P(R=0)+ P(X\le 0|R=1)\, P(R=1)=\frac{1}{2}.</math></center>
Per a <math>x\in (0,1)</math>
<center> <math>F_X(x)=P(X\le x)=P(X\le x|R=0)\, P(R=0)+P(X\le x|R=1)\, P(R=1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}P(U\le x)=\frac{1}{2}+\frac{x}{2}.</math></center>
|títol=Demostració}}
'''Interpretació probabilística de la descomposició en el cas general.'''
Considerem una funció de distribució que descomposi de la forma <math display="block">F=\alpha\, F_d+\beta F_{sd}+\gamma F_{s}, </math>amb <math>\alpha,\, \beta,\, \gamma>0</math> (recordem que <math>\alpha+\beta+\gamma=1</math>) . Siguin <math>X_1,\, X_2 </math> i <math>X_3</math> tres variables independents, <math>X_1</math> (respectivament <math>X_2</math>i <math>X_3</math>) amb funció de distribució <math>F_d</math> (resp. <math>F_{as}</math> i <math>F_s</math>), i <math>S</math> una altra variable aleatòria independent de les anteriors, tal que <math display="block">P(S=1)=\alpha,\ P(S=2)=\beta \ \text{i} P(S=3)=\gamma.</math>Aleshores la variable aleatòria <math display="block">X=\begin{cases} X_1,& \text{si } S=1,\\
X_2,& \text{si } S=2,\\
X_3,& \text{si } S=3,
\end{cases}</math>
té funció de distribució <math>F</math>.
==Notes==
| |||