Usuari:Freutci/distribucio: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
En aquesta secció estudiarem l'estructura de les funcions de distribució i recuperarem, des d'un punt de vista més general, allò que hem estudiat a la secció Funcions de distribució de variables discretes, absolutament contínues i mixtes. Com veurem, les variables aleatòries i les funcions de distribució comparteixen els mateixos noms.
Línia 15:
Tenim que <math>\widetilde F_d</math> compleix les propietats 1,2 i 3 de la definició de funcions de distribució, excepte que <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_d(x)=c\le 1</math> . Quan <math>c=1</math> aleshores la variable aleatòria <math>X</math> és discreta i <math>\widetilde F_d=F</math>'''.''' Quan <math>c<1</math> direm que <math>\widetilde F_d</math> és una ''funció de distribució defectiva'' (o impròpia).
Definim ara<math display="block">\widetilde F_c(x)=F(x)-\widetilde F_d(x).</math>Llavors <math>\widetilde F_c</math> també és una funció de distribució, defectiva, si <math>\widetilde F_d\not \equiv 0</math> . Però, a més, com que hem eliminat totes les discontinuïtats de <math>F</math>, tenim que <math>\widetilde F_c</math> és contínua: en tot punt <math>x</math> , <math>\widetilde F_c(x)=\widetilde F_c(x^-).</math>
'''Propietat.''' Tota funció de distribució descomposa de forma única en suma de dues funcions de distribució (defectives), <math display="block">F=\widetilde F_c+\widetilde F_d,</math>on <math>\widetilde F_c</math> és contínua i <math>\widetilde F_d</math> una funció discreta.
Línia 24:
'''Teorema'''{{sfn|Chung|2001|p=10}} {{sfn|Athreya|2006|p=47}}. Sigui <math>F</math> una funció de distribució. Aleshores <math>F</math> descomposa de forma única com a suma (de fet, combinació convexa) d'una funció de distribució contínua i una funció de distribució discreta: <math display="block">F=c\, F_c+(1-c)\, F_d,</math>on <math>c\in [0,1]</math> .
====Funcions de distribució singulars====
Considerem una funció <math>h:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}</math> monòtona creixent. Aleshores un conegut teorema de Lebesgue {{sfn|Royden|1988\p=100}} afirma que es pot derivar en quasi tots els punts (Lebesgue) , la funció derivada <math>h'</math> és mesurable (Lebesgue) i per qualsevol <math>a<b</math> , <math display="block">\int_a^b h'(x)\, dx\le h(b)-h(a),</math>on a l'esquerra hi ha una integral de Lebesgue.
Línia 67:
: - Si <math>\alpha=0 \ \text{i}\ \beta=0</math> llavors <math>F</math> és una funció de distribució singular contínua.
====== Exemple ======
Considerem de nou l'exemple que hem vist de la variable aleatòria de tipus mixt. La seva funció de distribució és <math display="block">
F(x)=\begin{cases}
Linha 102 ⟶ 103:
====== '''Interpretació probabilística de la descomposició en el cas general.''' ======
Considerem una funció de distribució que descomposi de la forma <math display="block">F=\alpha\, F_d+\beta F_{sd}+\gamma F_{s}, </math>amb <math>\alpha,\, \beta,\, \gamma>0</math> (recordem que <math>\alpha+\beta+\gamma=1</math>) . Siguin <math>X_1,\, X_2 </math> i <math>X_3</math> tres variables independents, <math>X_1</math> (respectivament <math>X_2</math>i <math>X_3</math>) amb funció de distribució <math>F_d</math> (resp. <math>F_{as}</math> i <math>F_s</math>), i <math>S</math> una altra variable aleatòria independent de les anteriors, tal que <math display="block">P(S=1)=\alpha,\ P(S=2)=\beta \ \text{i} P(S=3)=\gamma.</math>Aleshores la variable aleatòria <math display="block">X=\begin{cases} X_1,& \text{si } S=1,\\
| |||