Revisió del 13:53, 17 març 2021 modifica Freutci (discussió \| contribucions) 1.037 edits Cap resum de modificació Etiqueta: editor visual ← Edició anterior		Revisió del 14:05, 17 març 2021 modifica desfés Freutci (discussió \| contribucions) 1.037 edits Cap resum de modificació Etiqueta: editor visual Edició següent →
Línia 14: ~~De fet, es poden~~Podem normalitzar les funcions <math>\widetilde F_c</math> i <math>\widetilde F_d</math> per tal d'obtenir una descomposició amb funcions de distribució: Suposem que <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_d(x)=c\in (0,1).</math> Definim <math display="block">F_d=\frac{1}{c}\, \widetilde F_d \quad \text{i}\quad F_c=\frac{1}{1-c}\, \widetilde F_c, </math>que són ambdues funcions de distribució. Quan <math>c=0</math> llavors prenem <math>\ F_c=F</math>, i quan <math>c=1</math> llavors prenem <math>F_d=F </math> . {{teorema\|1='''Teorema'''{{sfn\|Chung\|2001\|p=10}} {{sfn\|Athreya\|2006\|p=47}}. Sigui <math>F</math> una funció de distribució. Aleshores <math>F</math> es descompon de forma única com a suma d'una funció de distribució contínua i una funció de distribució discreta: <math display="block">F=c\, F_c+(1-c)\, F_d,</math>on <math>c\in [0,1]</math>.}} Línia 31: {{Teorema\|1='''Teorema {{Sfn\|Billingsley\|1986\|p=434\|loc= Theorem 31.8}}.''' Una funció de distribució és absolutament contínua si i només sí <center><math>F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\, dt,</math></center> per a una funció <math> f\ge 0</math> integrable (Lebesgue), que s'anomena una '''funció de densitat'''. La funció de densitat <math>f</math> és única quasi en tot punt (Lebesgue); en altres paraules, si <math>g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}</math> és mesurable, i <math>f(x)=g(x)</math> quasi per tot <math>x</math> (Lebesgue), aleshores <math>g</math> també és una funció de densitat de <math>F</math> ~~de <math>F</math>~~. Es pot prendre <math>f=F'</math>}} Evidentment, aquest teorema també val per funcions de distribució defectives. Línia 41: '''Propietat.''' Tota funció de distribució es descompon de forma única en suma de tres funcions de distribució (potser defectives),<math display="block">F=\widetilde F_d+\widetilde F_{csac}+\widetilde F_s,</math>on <math>\widetilde F_d</math> és una funció discreta, <math>\widetilde F_c</math> absolutament contínua i <math>\widetilde F_s</math> és contínua singular. Igual que hem fet amb la primera descomposició, si suposem <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_d(x)=c\in (0,1)</math> i <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_{scac}(x)=d\in (0,1)</math> podem definir <math display="block">F_{sd}=\frac{1}{d}\, \widetilde F_{sd} \quad \text{i}\quad F_s=\frac{1}{1-d}\, \widetilde F_s, </math>▼ i llavors tenim <math display="block">F=\alpha\, F_d+\beta F_{sdac}+\gamma F_{s}, </math>on <math display="block">\alpha=1-c,\quad \beta=c\, d\quad \text{i}\quad \gamma=c\,(1-d).</math> Fem uns convenis aanàlegs als de la primera descomposició quan <math>c</math> i <math>d</math> són 0 o 1. Tenim: ▼ {{Teorema\|1='''Teorema'''{{sfn\|Chung\|2001\|p=12}} {{sfn\|Athreya\|2006\|p=134}}. Sigui <math>F</math> una funció de distribució. Aleshores <math>F</math> es descompon de forma única com a suma de tres funcions de distribució, una discreta, una absolutament contínua i una singular contínua: <math display="block">F=\alpha\, F_d+\beta F_{sdac}+\gamma F_{s}, </math> amb <math>\alpha,\,\beta, \,\gamma \ge 0</math> i <math>\alpha+\beta+\gamma=1</math>.}}▼ ▲Igual que hem fet amb la primera descomposició,si suposem <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_d(x)=c\in (0,1)</math> i <math>\lim_{x\to \infty}\widetilde F_{sc}(x)=d\in (0,1)</math> podem definir <math display="block">F_{sd}=\frac{1}{d}\, \widetilde F_{sd} \quad \text{i}\quad F_s=\frac{1}{1-d}\, \widetilde F_s, </math> Llavors: ▼ ▲i llavors tenim <math display="block">F=\alpha\, F_d+\beta F_{sd}+\gamma F_{s}, </math>on <math display="block">\alpha=1-c,\quad \beta=c\, d\quad \text{i}\quad \gamma=c\,(1-d).</math> Fem uns convenis a la primera descomposició quan <math>c</math> i <math>d</math> són 0 o 1. ▲{{Teorema\|1='''Teorema'''{{sfn\|Chung\|2001\|p=12}} {{sfn\|Athreya\|2006\|p=134}}. Sigui <math>F</math> una funció de distribució. Aleshores <math>F</math> es descompon de forma única com a suma de tres funcions de distribució, una discreta, una absolutament contínua i una singular contínua: <math display="block">F=\alpha\, F_d+\beta F_{sd}+\gamma F_{s}, </math> amb <math>\alpha,\,\beta\,\gamma \ge 0</math> i <math>\alpha+\beta+\gamma=1</math>.}} ▲Llavors: * Si <math>\alpha=1</math> (i naturalment els altres paràmetres 0) llavors <math>F</math> és una funció de distribució discreta. Linha 60 ⟶ 56: ====== Exemple ====== Considerem de nou l'exemple que hem vist de la variable aleatòria de tipus mixt. La seva funció de distribució és <math display="block"> F(x)=\begin{cases} Linha 76 ⟶ 70: \end{cases}</math>Normalitzant aquestes funcions defectives tenim <math display="block">F(x)=\frac{1}{2} F_d(x)+\frac{1}{2}F_{ac}(x),</math>on <math display="block">F_d(x)=\begin{cases} 0, & \text{si } x<0,\\ 1, & \text{si } x\ge 0. \end{cases}</math>i <math>F_{asac}</math>té funció de densitat <math display="block">f(x)=\begin{cases}1,& \text{si } x\in [0,1],\\ 0,& \text{en cas contrari.} \end{cases}</math> Linha 83 ⟶ 77: x, &\text{si } x\in (0,1) ,\\ 1, &\text{si } x\ge 1. \end{cases}</math>'''Interpretació probabilística de la descomposició.''' La funció de distribució discreta <math>F_d</math> correspon a una variable aleatòria degenerada en el zero. La funció <math>F_{asac}</math> correspon a una variable uniforme en l'interval <math>(0,1)</math>. Sigui <math>U</math> una variable aleatòria uniforme en l'interval <math>(0,1)</math> i sigui <math>R</math> una variable aleatòria que utilitzarem per triar a l'atzar entre 0 i <math>U</math>, independent d' <math>U</math>; concretament, sigui <math>R</math> de Bernoulli de paràmetre ''p''=1/2, independent de <math>U</math> : <math display="block">P(R=0)=P(R=1)=\frac{1}{2}.</math>Aleshores la variable aleatòria <math display="block">X=\begin{cases} 0,& \text{si } R=0,\\ U,& \text{si } R=1, \end{cases}</math> té funció de distribució <math>F</math> .

Usuari:Freutci/distribucio: diferència entre les revisions