Equipotència: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Robot afegeix: bs:Ekvipotencija, hr:Jednakobrojnost |
m Robot substituint sintaxi <br /> |
||
Línia 17:
* És [[relació binària#Transitivitat|transitiva]] : essent tres conjunts ''E'', ''F'' i ''G'', si ''E'' ≈ ''F'' i ''F'' ≈ ''G'', aleshores ''E'' ≈ ''G'' (per hipotèsi, hi ha almenys una bijecció <math>f : E \to F</math> i una bijecció <math>g : F \to G</math> ; aleshores la composició <math>g \circ f : E \to G</math> es una bijecció)
Açò prova que dins tot conjunt <math>\mathcal{E}</math> de conjunts, la [[relació binària]] d'equipotència és una [[relació d'equivalència]], i que el [[relació d'equivalència#Conjunt quocient|conjunt quocient]] <math>\mathcal{E} / \approx\quad</math> pot ésser identificat al conjunt dels cardinals dels elements de <math>\mathcal{E}</math>. <br />Per exemple, si <math>\mathcal{E} = \mathcal{P}(\Omega)</math> és el [[conjunt de les parts]] d'un conjunt <math>\Omega</math>, l'equipotència és una [[relació d'equivalència]] dins <math>\mathcal{E}</math>.
Tanmateix, no és possible de dir que l'equipotència es una relació d'equivalència dins e conjunt de tots els conjunts: dins la [[teoria de conjunts|teoria clàssica dels conjunts]], el conjunt de tots els conjunts no existeix pas.
Línia 31:
* El conjunt <math>\mathbb{N}</math> dels [[nombre natural|enters naturals]] i el conjunt dels enters naturals parells, notat ací <math>\mathcal{P}</math>, són equipotents: l'aplicació <math>\mathbb{N} \to \mathcal{P},\, n \mapsto 2\, n</math> és bijectiva. De fet els conjunts que són equipotents amb ℕ es diu que són [[conjunt numerable|numerables]].
* Cas dels intervals del conjunt <math>\mathbb{R}</math> dels [[nombre real|nombres reals]]
** Sien dos reals <math>a</math>, <math>b</math> tals que <math>a < b</math>, i els intervals <br /> <math>[a,\, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}</math> , <math>\,]a,\, b[\, = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}</math>
*** Els intervals <math>[a,\, b] </math> i <math>[0,\, 1]</math> són equipotents: l'aplicació <math>[a,\, b] \to [0,\, 1],\, x \mapsto \frac{x - a}{b - a}</math> és bijectiva.
*** Anàlogament, els intervals <math>\,]a,\, b[\, </math> i <math>\,]0,\, 1[\,</math> són equipotents.
Línia 38:
*** l'aplicació <math>j : [0,\, 1] \to \,]0,\, 1[\,,\, x \mapsto \frac{x + 1}{3} </math> és injectiva.
*** l'equipotència de <math>\,]0,\, 1[\,</math> i <math>[0,\, 1]</math> és, aleshores, conseqüència del teorema de Cantor-Bernstein.
** Els intervals <math>\mathbb{R} = \,]-\infty,\,+\infty[\,</math> i <math>\,]-1,\, +1[\,</math> són equipotents:<br /> l'aplicació <math>\mathbb{R} \to \,]-1,\, +1[\,,\, x \mapsto \frac{x}{1 + |x|}</math> és bijectiva.
** En fet, es pot generalitzar açò: dos intervals de <math>\mathbb{R}</math> qualssevulla (posat que cada un contenga almenys dos punts) són equipotents.
* Essent un conjunt <math>\Omega</math>, el conjunt <math>\mathcal{P}(\Omega)</math> de les seves parts és equipotent al conjunt <math>\{0,\, 1\}^\Omega</math> de les funcions <math>\Omega \to \{0,\, 1\} </math>. <br /> Per provar-ho, s'associa a tota part ''A'' de <math>\Omega</math> la seva [[Funció característica (matemàtiques)|funció característica]] <math>\chi_A : \Omega \to \{0,\, 1\} </math> definida així: per a tot element ''x'' de <math>\Omega</math>, <math>\chi_A(x) = 1 </math> si <math>x \in A</math> i <math>\chi_A(x) = 0 </math> si <math>x \notin A</math>. <br /> L'aplicació <math>\mathcal{P}(\Omega) \to \{0,\, 1\}^\Omega,\, A \mapsto \chi_A</math> és bijectiva : si ''f'' és una funció <math>\Omega \to \{0,\, 1\} </math> i si es defineix <math>A = \{x \in \Omega \mid f(x) = 1\}</math>, és clar que ''A'' es l'única part de <math>\Omega</math> tal que <math>\chi_A = f</math>.
* Segons un teorema clàssic de Cantor, l'[[argument diagonal de Cantor]], el conjunt <math>\mathbb{N}</math> dels enters naturals ''no és'' equipotent al conjunt <math>\mathbb{R}</math> dels reals. Més generalment, un conjunt <math>\Omega</math> ''no és'' equipotent al conjunt <math>\mathcal{P}(\Omega)</math> de les seves parts.
| |||