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Nombres primers de Gauss: diferència entre les revisions

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:* '''Un entiernombre naturelnatural estés premierprimer (ouo irréductibleirreductible) auen sensel dessentit entiersdels enters de Gauss si eti seulementnomés s'ilsi n'estno pasés sommesuma de deuxdos carrésquadrats.'''
SoitSigui ''p'' un nombre premierprimer, supposonssuposant qu'ilque estés sommesuma de deuxdos carrésquadrats:
 
<center><math>\exists a,b \in \mathbb{Z} \quad p=a^2+b^2=(a+i.b)(a-i.b)</math></center>
AlorsLlavors ''p'' admet deuxdos diviseursdivisors nonno unitairesunitaris carja deque normetenen égalenorma àigual a ''p''.
 
SupposonsSuposant qu'ilque neno soitsigui pas irréductibleirreductible, alors illlavors existeexisteixen deuxdos entiersenters de Gauss α eti β nonno unitairesunitaris teltals que ''p'' = α.β eti commecom que la normenorma de ''p'' estés égaleigual àa ''p''<sup>2</sup> la normenorma de α esti égalela de β són totes dues iguals àa ''p'' (donat que p és un nombre primer i no hi ha altres nombres enters que multiplicats donin ''p''<sup>2</sup>). La normenorma estés sommesuma de deuxdos carrésquadrats, ceamb això quies terminecompleta la démonstrationdemostració.
 
:* '''Un nombre premierprimer ''p'' impairesenar estés sommesuma de deuxdos carrésquadrats si eti seulementnomés s'ilsi estés congrucongruent àamb 1 modulomòdul 4.'''
La démonstration est donnée dans l'article sur la [[Théorème des deux carrés de Fermat#Résultats connexes|démonstration du théorème des deux carrés de Fermat par Dedekind]]
 
La demostració es farà a l'article [[Teorema dels dos quadrats de Fermat#Altres problemes proposats per Fermat|Teorema dels dos quadrats de Fermat]]
:* '''Un entier ''n'' est somme de deux carrés d'entiers si et seulement si dans sa [[théorème fondamental de l'arithmétique|décomposition en facteurs premiers]], les nombres premiers congrus à trois modulo 4 figurent à une puissance paire.'''
La démonstration est donnée dans l'article sur la [[Théorème des deux carrés de Fermat#Généralisation à tous les entiers|généralisation à tous les entiers du théorème des deux carrés de Fermat]]
 
:* '''Un enter ''n'' és suma de dos quadrats d'enters si i només si en la seva [[descomposició en factors primers]], els nombres primers congruents amb tres mòdul 4 figuren elevats a una potència parell.'''
:* '''Condition nécessaire et suffisante pour qu'un entier ''n'' soit irréductible :'''
'''Cas où N(x) est premier :'''▼
 
La demostració es donarà a l'article sobre la [[Teorema dels dos quadrats de Fermat#Generalització a tots els enters|generalització en tots els enters del teorema dels dos quadrats de Fermat]].
Alors ''x'' est premier et pour qu'un nombre premier supérieur à 3 soit une norme, il faut et il suffit qu'il soit congru à 1 modulo 4.
 
:* '''Condició necessària i suficient perquè un enter ''n'' sigui irreductible:'''
'''Cas où N(x) est le carré d'un nombre premier ''p'' congru à 3 modulo 4 :'''▼
▲'''Cas oùon N(x) est premierés primer:'''
 
Llavors ''x'' és primer i perquè un nombre primer superior a 3 sigui una norma, cal i n'hi ha prou que sigui congruent amb 1 mòdul 4.
Soit ''u'' et ''v'' une décomposition en deux facteurs de ''x''. Alors si la norme de ''u'' est différente de 1, comme elle ne peut être égale à ''p'' car une telle valeur n'est pas une norme, elle est égale à la norme de ''x''. On en déduit que ''x'' est irréductible.
 
▲'''Cas oùon N(x) estés leel carréquadrat d'un nombre premierprimer ''p'' congrucongruent àamb 3 modulomòdul 4 :'''
De plus, N(''x'') n'est somme de deux carrés que si chacun des membres est un multiple de ''p''<sup>2</sup>. Ceci démontre que soit la partie réelle, soit la partie imaginaire est nulle.
 
Sigui ''u'' i ''v'' una descomposició en dos factors de ''x''. Llavors si la norma de ''u'' és diferent d'1, com que no pot ser igual a ''p'' ja que tal valor no és una norma, és igual a la norma de ''x''. Se'n dedueix que ''x'' és irreductible.
'''Cas où il existe un facteur premier congru à 3 modulo 4 à une puissance impair :'''
 
A més, N(''x'') no és suma de dos quadrats tret que cadascun dels membres sigui un múltiple de ''p''<sup>2</sup>. Això demostra que o bé la part real, o bé la part imaginària és nul·la.
Un tel facteur n'est pas somme de deux carrés, il n'existe donc pas d'entier de Gauss ayant cette valeur pour norme.
 
'''Cas on existeix un factor primer congruent amb 3 mòdul 4 elevat a una potència senar:'''
'''Cas où N(x) est une somme de deux carrés, non première et non carré d'un nombre premier ''p'' congru à 3 modulo 4.▼
 
Tal factor no és suma de dos quadrats, no existeix per tant cap enter de Gauss que tingui aquest valor per a norma.
 
▲'''Cas oùon N(x) estés uneuna sommesuma de deuxdos carrésquadrats, nonno premièreprimera eti nonno carréquadrat d'un nombre premierprimer ''p'' congrucongruent àamb 3 modulomòdul 4.
 
Es demostra per reducció a l'absurd que ''x'' no és irreductible. Se suposa que ho sigui i es troba una contradicció. N(''x'') és el producte de dues sumes de dos quadrats cadascuna diferent d'1 (és una conseqüència de la demostració del cas general del teorema dels dos quadrats. Existeixen per tant ''u'' i ''v'' tals que N(''x'') = N(''u''.''v''). Se'n dedueix que:
 
Montrons avec un raisonnement par l'absurde que ''x'' n'est pas irréductible. Supposons qu'il le soit et trouvons une contradiction. N(''x'') est le produit de deux sommes de deux carrés chacune différente de 1 (c'est une conséquence de la démonstration du cas général du théorème des deux carrés. Il existe donc ''u'' et ''v'' tel que N(''x'') = N(''u''.''v''). On en déduit :
<center><math>x.\bar x=(u.v).(\bar u.\bar v)\;</math></center>
Si ''x'' estés irréductibleirreductible alorsllavors ''x'' divisedivideix l'un desdels facteursfactors de droitela dreta, parper exemple ''u''.''v''. eti il existeexisteix un entier αenter teltal que α.''x'' = ''u''.''v''. CommeCom que la normenorma de ''x'' estés égaleigual àa cellela de ''u''.''v'', la normenorma de α estés égaleigual àa 1 eti αés estuna une unitéunitat. On enSe'n déduitdedueix que ''x'' = α<sup>-1</sup>''u''.''v''. CeEl quique prouveprova que ''x'' n'estno és pas irréductibleirreductible d'oùel que és uneuna contradictioncontradicció eti la démonstrationdemostració estqueda achevéecompletada.
 
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