Teorema de Taylor: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Etiqueta: editor de codi 2017 |
→Mitjançant el teorema de Rolle: afegeixo demostració alternativa amb ref Etiqueta: editor de codi 2017 |
||
Línia 91:
=== Mitjançant el teorema de Rolle ===
Sigui <math>f(x)</math> una funció diferenciable <math>n+1</math> vegades en l'interval <math>[a,b]</math>, el teorema de Taylor afirma que existeix <math>\xi</math> entre <math>x</math> i <math>x_0</math> tal que<ref>{{Ref-web|url=https://people.clas.ufl.edu/kees/files/TaylorRemainderProof.pdf|títol=The Taylor Remainder Theorem|consulta=10 març 2022|llengua=anglès|editor=James Keesling}}</ref>
:<math>f(x) = f(x_0) + \sum_{j=1}^n\frac{f^{(j)}(x_0)}{j!} (x-x_0)^j + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}</math>
Línia 103:
:<math>g(t) = f(t) - f(x_0) - \sum_{j=1}^n\frac{f^{(j)}(x_0)}{j!} (t-x_0)^j + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (t-x_0)^{n+1}</math>
Noti's que <math>g(x_0)=f(x_0)-f(x_0) = 0</math> i que, per com s'ha definit <math>M</math>, <math>g(x) =f(x)-f(x)= 0</math>. Utilitzant el [[teorema de Rolle]], se sap que existeix <math>\xi_1\in (x_0,x)</math> tal que <math>g'(\xi_1)=0</math>.
:<math>g'(t) = f'(t) - f'(x_0) - \sum_{j=1}^{n-1} \frac{f^(j+1)(x_0)}{j!} (t-x_0)^j - \frac{M}{n!}(t-x_0)^n </math>
Com abans, <math>g'(x_0)=f'(x_0)-f'(x_0) = 0</math> i, com s'ha dit, <math>g'(\xi_1)=0</math>. Si es torna a aplicar el teorema de Rolle, s'obté que existeix <math>\xi_2\in(x_0,\xi_1)</math> tal que <math>g''(\xi_2)=0</math>. Aquest mateix raonament es pot aplicar iterativament i s'obté
:<math>g^{(\ell)}(t) = f^{(\ell)}(t) - f^{(\ell)}(x_0) - \sum_{j=1}^{n-\ell} \frac{f^(j+\ell)(x_0)}{(j!} (t-x_0)^j - \frac{M}{(n+1-\ell)!}(t-x_0)^(n+1-\ell) </math>
on <math>\ell=1,2,\dots, n</math>. S'obtindrà, a més, que <math>g^{(\ell)}(x_0)=0</math> i que existirà <math>\xi_\ell\in(x_0,\xi_{\ell-1}</math> tal que <math>g^{(\ell)}(\xi_\ell)=0</math>. En particular, quan <math>\ell=n</math>, es tindrà que <math>g^{(n)}(x_0)=g^{(n)}(\xi_n)=0</math> i per tant, utilitzant per derrer cop el teorema de Rolle, existeix <math>\xi_{n+1}</math> tal que <math>g^{(n+1)}(\xi_{n+1})=0</math>. Per tant, derivant per últim cop s'obté
:<math>g^{(n)}(t) =f^{(n+1)}(t)-M</math>
i d'aquí, substituint <math>t</math> per <math>\xi_{n+1}</math>, s'obté <math>M=f^{(n+1)}(\xi_{n+1})</math>. Així, s'ha demostrat l'existència de <math>\xi_{n+1}</math>.
== Referències i notes ==
| |||