Espai compacte: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació Etiqueta: editor de codi 2017 |
Cap resum de modificació Etiqueta: editor de codi 2017 |
||
Línia 8:
Una d'aquestes generalitzacions és la que diu que un espai topològic és [[espai successionalment compacte|''successionalment'' compacte]] si tota [[Successió (matemàtiques)|successió infinita]] de punts mostrejats en l'espai té una [[subsuccessió]] que convergeix en algun punt de l'espai.<ref>{{Cite book |last=Engelking |first=Ryszard. |url= |title=General topology |date= |publisher=PWN |year=1977 |location=Warsaw |pages=266 |oclc=}}</ref> El [[teorema de Bolzano-Weierstrass]] afirma que un subconjunt de l'espai euclidià és compacte en aquest sentit successional si i només si és tancat i fitat. Per tant, si es tria un nombre infinit de punts en l'[[interval unitat]] tancat, {{math|[0, 1]}}, alguns dels seus punts s'aproparan arbitràriament a algun nombre real en aquest espai. Per exemple, alguns dels nombres en la seqüència {{nowrap|1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, ...}} s'acumulen en el 0 (mentre que d'altres ho fan a l'1). El mateix conjunt de punts no s'acumularien a cap punt de l'interval unitat obert {{math|(0, 1)}}, així doncs l'interval unitat obert no és compacte. Tot i que subconjunts (subespais) de l'espai euclidià poden ser compactes, l'espai sencer en si no és compacte ja que no és fitat. Per exemple, considerant <math>\mathbb{R}^1</math>, la recta de nombres reals sencera, la successió de punts {{nowrap|0, 1, 2, 3, ...}}, no té cap subseqüència que convergeixi a cap nombre real.
La idea d'espai compacte va ser introduïda formalment per [[Maurice Fréchet]] l'any 1906 per generalitzar el teorema de Bolzano–Weierstrass d'espais de punts geomètrics a [[espai funcional|espais de funcions]]. El [[Teorema d'Arzelà–Ascoli]] i el [[teorema d'existència de Peano]] exemplifiquen aplicacions d'aquesta noció d'espai compacte a l'anàlisi real clàssica. Seguint la seva introducció inicial, diferentes nocions equivalents d'espais compactes, inclosa la d'espai successionalment compacte i la d'espai compacte de punts límit van ser desenvolupades en [[espai mètric|espais mètrics]] generals.<ref name=":0">{{Cite web|url=http://www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk/~john/MT4522/Lectures/L22.html|title=Sequential compactness|website=www-groups.mcs.st-andrews.ac.uk|access-date=2019-11-25}}</ref> En espais topològics generals, tanmateix, aquestes nocions d'espais compactes no són necessàriament equivalents. La noció més útil -i la definició estàndard del term espai ''compacte''- és descrita en termes de l'existència de famílies finites de [[conjunt obert|conjunts oberts]] que [[Recobriment (topologia)|recobreixen]] l'espai en el sentit que tot punt de l'espai pertany a algun conjunt contingut dins de la família. Aquesta noció més subtil, introduïda per [[Pàvel Aleksàndrov]] i [[Pàvel Urysohn]] l'any 1929, presenta els espais compactes com a generalitzacions d'[[
S'utilitza sovint el terme '''conjunt compacte''' com a sinònim d'espai compacte, però sol fer referència també a subespais compactes d'espais topològics.
| |||