Anell (matemàtiques): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
mCap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1:
* (''A'',+) és un [[grup commutatiu]], és a dir:
** ''a''+(''b''+''c'') = (''a''+''b'')+''c'' per a tots els elements de ''A'' ([[associativitat]]).
Línia 9:
** ''a''·(''b''+''c'') = ''a''·''b''+''a''·''c'' i (''b''+''c'')·''a'' = ''b''·''a''+''c''·''a'' per a tots els elements de ''A'' ([[propietat distributiva]] respecte a la suma).
Alguns autors com [[Bourbaki]], només consideren els anells '''unitaris''', és a dir, aquells on la operació producte admet un [[element neutre]] denotat 1 o explícitament 1<sub>''A''</sub> que compleix:
*1⋅''a'' = ''a''⋅1 = ''a'' per a tot ''a'' ∈ ''A''.
Aquests autors acostumen a anomenar '''pseudo-anells''' als conjunts que no compleixen aquesta darrera condició.
Fixem-nos que, en canvi, la [[commutativitat]] del producte (''a''·''b'' = ''b''·''a'') no és una condició dels anells. Els anells que sí que la compleixen s'anomenen '''anells commutatius'''.
Fixem-nos també que l'element invers està definit per a la suma, però no per al producte. El conjunt d'elements invertibles d'un anell s'anomena el seu grup d'[[unitat (àlgebra)|unitat]]s, perquè té l'estructura de [[grup (matemàtiques)|grup]] amb el producte. Quan el zero és l'únic element no invertible d'un anell, aquest s'anomena [[cos (matemàtiques)|cos]].
== Morfismes d'anells==
Per completar la definició de la [[categoria (matemàtiques)|categoria]], un '''[[homomorfisme]] d'anells''' és una [[aplicació]] ''f'' entre dos anells ''A'' i ''B'' que compleix:
*''f''(''a''+''b'') = ''f''(''a'') + ''f''(''b''),
*''f''(''a''⋅''b'') = ''f''(''a'')⋅''f''(''b''),
i si hem considerat els anells com unitaris:
*''f''(1<sub>''A''</sub>) = 1<sub>''B''</sub>.
Tot homomorfisme d'anells [[bijectiu]] és un [[isomorfisme]] i l'existència d'un homomorfisme entre dos anells fa que aquests es siguin [[isomorf]]s.
==Exemples==
El conjunt dels [[nombre enter|nombres enters]] és un anell commutatiu, així com els [[nombre racional|nombres racionals]], els [[nombre real|reals]] i els [[nombre complex|complexos]]; aquests tres últims són, a més a més, cossos.
==
La teoria d'anells és una branca molt rica de l'[[àlgebra abstracta]] i que ha donat lloc a moltes denominacions per a diferents tipus d'anells. Entre els més comuns tenim:
*[[Anell noetherià]]
*[[Anell artinià]]
*[[Anell de Dedekind]]
*[[Anell local]]
En l'estudi de divisibilitat per [[ideal (matemàtiques)|ideal]]s, s'utilitzen sovint els següents, que estan ordenats de manera que si l'anell és commutatiu cadascun d'ells també té les propietats dels anteriors:
*[[Anell íntegre]]
*[[Anell factorial]]
*[[Anell principal]]
*[[Anell euclidià]]
===Anell principal===
Un anell és '''principal''' si tots els seus [[ideal|ideals]] són [[ideal principal|ideals principals]].
| |||