Grup de Klein: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 31:
**Així doncs per a qualsevol element de ''V'', el seu [[element simètric|simètric]] per l'operació ∗ és ell mateix.
**A més, els elements ''x'' que no són el neutre ''x''≠''e'', tenen [[ordre (matemàtiques)|ordre]] dos. Com que no n'hi ha cap d'ordre quatre el grup no és cíclic.
A més a més es coneixen altres propietats del grup de Klein:
*És isomorf al producte directe de dos grups cíclics d'ordre dos C<sub>2</sub>×C<sub>2</sub>. Com que els grups cíclics sovint s'identifiquen amb el grup additiu de [[congruència sobre els enters|les classes de residus]] (ℤ/''n''ℤ, +); el grup de Klein també es denota ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ, o alguna vegada ℤ<sub>2</sub>×ℤ<sub>2</sub>. A més, com que en aquest cas el producte directe es correspon amb la [[suma directa]] (és un [[producte cartesià]] finit) també s'escriu ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/2ℤ. Si els elements de ℤ/2ℤ els escrivim
::<math>\Z/2\Z = \bigl\{ \bar 0 ,\bar 1\bigr\}</math>
:com és habitual, llavors l'isomorfisme entre el grup ''V'' i ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ només cal que porti l'element neutre ''e'' a l'element neutre <math>(\bar 0 , \bar 0)</math> de ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ. La taula del grup queda així:
::<math>\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline + & (\bar 0,\bar 0) & (\bar 1,\bar 0) & (\bar 1,\bar 1) & (\bar 0 , \bar 1) \\
\hline
(\bar 0 ,\bar 0) & (\bar 0,\bar 0) & (\bar 1,\bar 0) & (\bar 1,\bar 1) & (\bar 0 , \bar 1) \\
(\bar 1 ,\bar 0) & (\bar 1,\bar 0) & (\bar 0,\bar 0) & (\bar 0,\bar 1) & (\bar 1 , \bar 1) \\
(\bar 1 ,\bar 1) & (\bar 1,\bar 1) & (\bar 0,\bar 1) & (\bar 0,\bar 0) & (\bar 1 , \bar 0) \\
(\bar 0 ,\bar 1) & (\bar 0,\bar 1) & (\bar 1,\bar 1) & (\bar 1,\bar 0) & (\bar 0 , \bar 0) \\ \hline
\end{array}</math>
*Com hem observat anteriorment, els tres elements d'ordre dos del grup de Klein són intercanviables. El grup d'[[automorfisme]]s de ''V'' és el [[grup simètric]] de les [[permutacions]] d'aquests tres elements.
*En dues dimensions és el [[grup de simetries]] d'un [[rectangle]] o d'un [[rombe]]. Aquest grup també s'anomena [[grup dièdric]] d'ordre quatre i es denota D<sub>2</sub> o D<sub>2,2</sub>.
[[Categoria:Teoria de grups]]
| |||