|
== Exemples ==
LetSia ''X'' = '''R'''<sup>2</sup> beel thepla standardcartesià Cartesian planeestàndard, andi letsia ''Y'' beuna alínia lineque throughpassa theer originl'origen inde ''X''. Llavors Thenl'espai the quotient spacequocient ''X''/''Y'' canes bepot identifiedidentificar withamb thel'espai spacede oftotes allles lineslínies inen ''X'' whichque aresón parallelparal·lels toa ''Y''. ThatÉs is toa saydir thatque, theels elements ofdel the setconjunt ''X''/''Y'' aresón lineslínies inen ''X'' parallelparal·lel toa ''Y''. Això This gives one waydóna inuna whichvia toper visualizevisualitzar quotientespais spacesquocient geometricallygeomètricament.
Un altre exemple és el quocient de '''R'''<sup>''n'' </sup> al costat delpel subespai abraçat abans delgenerat primerpels ''m'' primers vectors de base estàndardsestàndard. L'espai '''R'''<sup>''n'' </sup> consisteix deen totes totles ''n'' -tuples de nombres reals ''( x'' <sub>1</sub>,… ;,''x'' <sub>''n'' </sub>). El subespai, identificavaidentificat amb '''R'''<sup>''m'' </sup>, consta de tottotes les ''n'' -tuples taltals que només elles primerprimeres ''m'' entradescomponents són non-diferents de zero: ''( x'' <sub>1</sub>,… ;,''x'' <sub>''m'' </sub>,0,0,… ;,0). Dos vectors de '''R'''<sup>''n'' </sup> sónpertanyen ena ella mateix modulo demateixa classe de congruència mòdul el subespai si i només si són idèntics en l'últimles últimes ''n'' −''m'' coordenades. L'espai quocient '''R'''<sup>''n'' </sup>/ '''R'''<sup>''m'' </sup> és [[isomorfisme|isomorf]] a '''R'''<sup>''n'' −''m'' </sup> en unade conductaforma òbvia. ▼Sia ''X'' = '''R'''<sup>2</sup> el pla cartesià estàndard, i deixar ''Y'' ser una línia a través de l'origen dins ''X'' . Llavors l'espai quocient ''X'' /''Y'' pot ser identificat amb l'espai de totes les línies en ''X'' que són paral·lels a ''Y'' . És a dir que, els elements del conjunt ''X'' /''Y'' són línies en ''X'' paral·lel a ''Y'' . Això entrega un camí quin visualitzar espais quocient geomètricament.
Més generalment, si ''V'' és un (intern)una [[suma directa]] (interna) de subespais ''U'' i ''W'' : ▼
Another example is the quotient of '''R'''<sup>''n''</sup> by the subspace spanned by the first ''m'' standard basis vectors. The space '''R'''<sup>''n''</sup> consists of all ''n''-tuples of real numbers (''x''<sub>1</sub>,…,''x''<sub>''n''</sub>). The subspace, identified with '''R'''<sup>''m''</sup>, consists of all ''n''-tuples such that only the first ''m'' entries are non-zero: (''x''<sub>1</sub>,…,''x''<sub>''m''</sub>,0,0,…,0). Two vectors of '''R'''<sup>''n''</sup> are in the same congruence class modulo the subspace if and only if they are identical in the last ''n''−''m'' coordinates. The quotient space '''R'''<sup>''n''</sup>/ '''R'''<sup>''m''</sup> is [[isomorphic]] to '''R'''<sup>''n''−''m''</sup> in an obvious manner.
▲Un altre exemple és el quocient de '''R'''<sup>''n'' </sup> al costat del subespai abraçat abans del primer ''m'' vectors de base estàndards. L'espai '''R'''<sup>''n'' </sup> consisteix de tot ''n'' -tuples de nombres reals ''( x'' <sub>1</sub>,…;,''x'' <sub>''n'' </sub>). El subespai, identificava amb '''R'''<sup>''m'' </sup>, consta de tot ''n'' -tuples tal que només el primer ''m'' entrades són non-zero: ''( x'' <sub>1</sub>,…;,''x'' <sub>''m'' </sub>,0,0,…;,0). Dos vectors de '''R'''<sup>''n'' </sup> són en el mateix modulo de classe de congruència el subespai si i només si són idèntics en l'últim ''n'' −''m'' coordenades. L'espai quocient '''R'''<sup>''n'' </sup>/ '''R'''<sup>''m'' </sup> és [[isomorfisme|isomorf]] a '''R'''<sup>''n'' −''m'' </sup> en una conducta òbvia.
More generally, if ''V'' is an (internal) [[direct sum of vector spaces|direct sum]] of subspaces ''U'' and ''W'':
▲Més generalment, si ''V'' és un (intern) [[suma directa]] de subespais ''U'' i ''W'' :
:<math>V=U\oplus W</math>
then the quotient space ''V''/''U'' is naturally isomorphic to ''W'' {{harv|Halmos|1974|loc=Theorem 22.1}}.
llavors l'espai quocient ''V'' /''U'' és naturalment isomorf a ''W'' {{harv|Halmos|1974|loc=Theorem 22.1}}.
== Propietats ==
| 