|
== Equacions homogènies amb coeficients constants ==
El primer mètode de resoldre equacions diferencials corrents lineals ordinàries amb coeficients constants és degut a causa d'[[Leonhard Euler|Euler]], que s'adonavaes va adonar que les solucions tenen la forma <math>e^{z x}</math>, per a valors possiblement [[nombre complex|complexos ]] de <math>z</math>. La funció exponencial és una de les poques funcions que es quedenconserven la sevamateixa forma finsdespres ide totcalcular-ne desprésla de diferenciació[[derivada]]. Per Ental ordre per aque la suma de derivats múltiples derivades d'una funció per resumir adoni zero, elsles derivatsderivades s'han de neutralitzarcancel·la l'un a l'altremútuament i l'única manera que facin això és que elsles derivatsderivades tenentinguin la mateixa forma comde la funció inicial. Així, per resoldre ▼
The first method of solving linear ordinary differential equations with constant coefficients is due to [[Euler]], who realized that solutions have the form <math>e^{z x}</math>, for possibly-complex values of <math>z</math>. The exponential function is one of the few functions that keep its shape even after differentiation. In order for the sum of multiple derivatives of a function to sum up to zero, the derivatives must cancel each other out and the only way for them to do so is for the derivatives to have the same form as the initial function. Thus, to solve
▲El primer mètode de resoldre equacions diferencials corrents lineals amb coeficients constants és a causa d'[[Leonhard Euler|Euler]], que s'adonava que les solucions tenen la forma <math>e^{z x}</math>, per a valors possiblement complexos de <math>z</math>. La funció exponencial és una de les poques funcions que es queden la seva forma fins i tot després de diferenciació. En ordre per a la suma de derivats múltiples d'una funció per resumir a zero, els derivats s'han de neutralitzar l'un a l'altre i l'única manera que facin això és que els derivats tenen la mateixa forma com la funció inicial. Així, resoldre
:<math>y^{(n)} + A_{1}y^{(n-1)} + \cdots + A_{n}y = 0</math>
posem <math>y=e^{z x}</math>, anantel alque davantporta a ▼
we set <math>y=e^{z x}</math>, leading to
▲posem <math>y=e^{z x}</math>, anant al davant a
:<math>z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0.</math>
Dividint entre ''e'' <sup> ''zx'' </sup> dóna l'equació polinòmica de grau ''n''
Division by ''e''<sup> ''zx''</sup> gives the ''n''th-order polynomial
Divisió per ''e'' <sup> ''zx'' </sup> dóna el ''n'' polinomi de th-order
:<math>F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0.\,</math>
Aquesta equació algebraica ''F'' (''z'') = 0, és ell' '''equació característica''' consideratestudiada posteriormés tard per[[ Gaspard_Monge|monge]] i [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]. ▼
This algebraic equation ''F''(''z'') = 0, is the '''characteristic equation''' considered later by [[Gaspard_Monge | Monge]] and [[Cauchy]].
▲Aquesta equació algebraica ''F'' (''z'') = 0, és el '''equació característica''' considerat posterior per[[ monge]] i [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]].
Formally, the terms
Formalment, els termes
:<math>y^{(k)}\quad\quad(k = 1, 2, \dots, n).</math>
de l'equació diferencial original són reemquadrattssubstituïts per ''z'' <sup>''k'' </sup>. [[ ArrelsAlgorisme de algorithm#findingcerca ded'un descobrimentzero d' arreluna de polinomis|resolent]]|RESOLENTfunció|Resolent]] ell'equació polinomipolinòmica dónas'obtenen ''n'' valors de ''z'', ''z'' <sub>1</sub>, ..., ''z'' <sub>''n'' </sub>. Substitució deSubstituint qualsevol d'aquells valors per ''z'' a ''e'' <sup> ''zx'' </sup> dóna una solució ''e'' <sup> ''z'' <sub>''i'' </sub>''x'' </sup>. JaCom que que les equacions diferencials lineals homogènies obeeixen el [[principi superposició]], qualsevol [[combinació lineal]] d'aquestes funcions també satisfà l'equació diferencial. ▼
Quan aquestes arrels són completament [[polinomi separable| claresdiferents]], tenimes tenen ''n'' solucions claresdiferents ade l'equació diferencial. Es pot mostrardemostrar que aquestsaquestes són [[independència lineal|linealment independents]], aplicant el [[Matriu de Vandermonde| Determinantdeterminant de vandermondeVandermonde]], i juntstotes juntes formen una [[Base (àlgebra)|base]] de l'espai de totes les solucions de l'equació diferencial. ▼
of the original differential equation are replaced by ''z''<sup>''k''</sup>. [[Root-finding algorithm#Finding roots of polynomials|Solving]] the polynomial gives ''n'' values of ''z'', ''z''<sub>1</sub>, ..., ''z''<sub>''n''</sub>. Substitution of any of those values for ''z'' into ''e''<sup> ''zx''</sup> gives a solution ''e''<sup> ''z''<sub>''i''</sub>''x''</sup>. Since homogeneous linear differential equations obey the [[superposition principle]], any [[linear combination]] of these functions also satisfies the differential equation.
▲de l'equació diferencial original són reemquadratts per ''z'' <sup>''k'' </sup>. [[Arrels de algorithm#finding de descobriment d'arrel de polinomis|resolent]]|RESOLENT|Resolent]] el polinomi dóna ''n'' valors de ''z'', ''z'' <sub>1</sub>, ..., ''z'' <sub>''n'' </sub>. Substitució de qualsevol d'aquells valors per ''z'' a ''e'' <sup> ''zx'' </sup> dóna una solució ''e'' <sup> ''z'' <sub>''i'' </sub>''x'' </sup>. Ja que les equacions diferencials lineals homogènies obeeixen el [[principi superposició]], qualsevol [[combinació lineal]] d'aquestes funcions també satisfà l'equació diferencial.
When these roots are all [[distinct roots|distinct]], we have ''n'' distinct solutions to the differential equation. It can be shown that these are [[linearly independent]], by applying the [[Vandermonde determinant]], and together they form a [[Basis (linear algebra)|basis]] of the space of all solutions of the differential equation.
▲Quan aquestes arrels són completament [[polinomi separable|clares]], tenim ''n'' solucions clares a l'equació diferencial. Es pot mostrar que aquests són [[independència lineal|linealment independents]], aplicant el [[Matriu de Vandermonde|Determinant de vandermonde]], i junts formen una [[Base (àlgebra)|base]] de l'espai de totes les solucions de l'equació diferencial.
Aquesta última solució correspon al cas d'underdamped, mentre que l'anterior correspon al cas sobrehumitejat: les solucions per al cas d'underdamped [[oscil·lació|oscil·len]] mentre que les solucions per al cas sobrehumitejat fan no.
== Equació no homogènia amb coeficients constants ==
| 