Diferència entre revisions de la pàgina «Equació diferencial lineal»

 
== Equació de primer ordre ==
{| class="toccolours" style="float:right; margin:0 1em 0.5em 1em; clear:right; width:35%;"
{{ExampleSidebar|35%|Solve the equation
! style="background:#ffffaa; padding: 3px 5px 3px 5px; font-size:larger;" | '''Exemples'''
 
|-
{{ ExampleSidebar|35%|Resolgui l'equació
| style="font-size:100% !important; padding:0 5px 0 5px;" |
 
Resoldre l'equació
 
 
: <math>y'(x)+3y(x)=2 \,</math>
 
 
 
with the initial condition
 
amb la condició inicial
 
 
 
: <math>y\left(0\right)=2. \,</math>
Fent servir el mètode de solució general:
 
 
 
Using the general solution method:
 
Utilitzant el mètode de solució general:
 
 
 
: <math>y=e^{-3x}\left(\int 2 e^{3x}\, dx + \kappa\right). \,</math>
La integral indefinida es resol i dóna:
 
 
 
The indefinite integral is solved to give:
 
La integral indefinida es resol per cedir:
 
 
 
: <math>y=e^{-3x}\left(2/3 e^{3x} + \kappa\right). \,</math>
Llavors es pot reduir a:
 
 
 
Then we can reduce to:
 
Llavors ens podem reduir a:
 
 
 
: <math>y=2/3 + \kappa e^{-3x}. \,</math>
on ''κ'' és 4/3 a partir de la condició inicial.
|}
 
Una EDO lineal d'ordre 1 amb coeficients variables té la forma general
 
 
where ''&kappa;'' is 4/3 from the initial condition.}}
 
on ''κ;'' és 4/3 de la inicial condiciona.}}
A linear ODE of order 1 with variable coefficients has the general form
 
Una Oda lineal de l'ordre 1 amb coeficients variables té la forma general
 
 
 
:<math>Dy(x) + f(x) y(x) = g(x).</math>
 
 
 
Equations of this form can be solved by multiplying the [[integrating factor]]
 
Les equacions d'aquesta forma es poden resoldre multiplicant el [[factor d'integració|factor integrant]]
 
 
 
:<math>e^{\int f(x)\,dx}</math>
 
 
 
throughout to obtain
 
per obtenir
 
 
 
:<math> Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x) \, dx},</math>
 
que se simplifica degut a la [[regla del producte]] a
 
 
which simplifies due to the [[product rule]] to
 
que simplifica a causa de la [[regla del producte|regla de producte]] a
 
 
 
: <math> D (y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}</math>
 
que, integrant els dos costats, dóna
 
 
which, on integrating both sides, yields
 
que, integrant els dos costats, cedeix
 
 
 
: <math> y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c ~,</math>
 
 
 
: <math> y(x) = {\int g(x)e^{\int f(x)\,dx} \,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}} ~.</math>
 
En altres paraules: La solució d'una EDO lineal de primer ordre
 
 
In other words: The solution of a first-order linear ODE
 
En altres paraules: La solució d'una Oda lineal de primer ordre
 
 
 
: <math>y'(x) + f(x) y(x) = g(x),</math>
 
amb coeficients que poden variar o no amb ''x'', és:
 
 
with coefficients that may or may not vary with ''x'', is:
 
amb coeficients allò pot o pot no variar amb ''x'', és:
 
 
 
:<math>y=e^{-a(x)}\left(\int g(x) e^{a(x)}\, dx + \kappa\right)</math>
 
 
 
where ''<math>\kappa</math>'' is the constant of integration, and
 
on ''<math>\kappa</math>'' és la constant d'integració, i
 
 
 
: <math>a(x)=\int{f(x)\,dx}.</math>
 
 
=== Exemples ===
 
:<math>y(x) = e^{-bx} \left( e^{bx}/b+ C \right) = 1/b + C e^{-bx} .</math>
 
 
== Vegeu també ==
15.103

modificacions