Tensor de Ricci: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
posant coses directament de l'anglés, a veure si queda més clar |
més mates |
||
Línia 1:
En [[geometria diferencial]], el '''tensor de curvatura de Ricci'''—anomenat així degut a [[Gregorio Ricci-Curbastro]]—és un [[tensor]]&
tensor de Ricci es pot representar segons els [[vector]]s ''u'' i ''v'', usualment representat per ''Ric''(''u'',''v''), es pot definir com a la traça de l'[[endomorfisme]]
Línia 10:
És a dir, es pot expressar com a un [[Laplacià]] del tensor [[mètrica de Riemann|mètric riemanià]] en el cas de les [[varietat]]s de Riemann. En la dimensió 2 i 3, el [[tensor de curvatura]] és determinat totalment per la curvatura de Ricci.
Hom pot pensar en la curvatura de Ricci en una [[varietat de Riemann]], com un operador a l'espai tangent :<math>{R^{i}}_j = g^{ik}R_{kj}</math>
Per qualsevulla vectors ''u'' i ''v'' el vector ''Ric''(''u'') satisfà
:<math>Ric(u,v) = g(Ric(u), v)</math>
Si aquest operador és multiplicat simplement per una constant, llavors tenim [[varietat de Einstein]]. La curvatura de Ricci és proporcional al tensor mètric en aquest cas.
La curvatura de Ricci es pot explicar en termes de la [[curvatura seccional]] de la manera següent: per a un vector unitari ''v'', ''(v), v >'' és summa de les curvatures seccionals de tots els plànols travessats pel vector ''v'' i un vector d'un marc ortonormal que conté a ''v'' (hi ha n-1 tals plànols). Aquí ''R(v)'' és la curvatura de Ricci com un [[operador lineal]] en el plànol tangent, i '',.>'' és el producte escalar mètric. La curvatura de Ricci conté la mateixa informació que totes les aquestes sumes sobre tots els vectors unitaris. En les dimensions 2 i 3 aquest és igual que especificar totes les [[curvatura]]s seccionales o el [[tensor de curvatura]], però en dimensions més altes la curvatura de Ricci conté menys informació. Per exemple, les varietats d'Einstein no han de tenir curvatura constant en les dimensions 4 i més.
| |||