Suma directa: diferència entre les revisions

En d'autres termes, la somme de deux sous-espacessubespais vectoriels <math>F_1</math> et <math>F_2</math> est directe si la décomposition de tout élément de <math>F_1 + F_2</math> en somme d'un élément de <math>F_1</math> et d'un élément de <math>F_2</math> est unique.

En Altres Paraules, la suma de dos sous-espacessubespais vectorials <math>F_1</math> i <math>F_2</math> és directa si la descomposició de tot element de <math>F_1 + F_2</math> en suma d'un element de <math>F_1</math> i d'un element de <math>F_2</math> és única.

'''Sous-espacessubespais supplémentaires''' : deux sous-espacessubespais <math>F_1</math> et <math>F_2</math> de ''E'' sont dits [[Sous-espacessubespais supplémentaires|supplémentaires]] lorsque <math>E = F_1 \oplus F_2</math>. Cela signifie que pour tout élément ''u'' de ''E'', il existe un unique couple <math>\ (u_1 ; u_2)</math> de <math>F_1 \times F_2</math> tel que <math>\ u = u_1 + u_2</math>.

'''Sous-espacessubespais suplementaris''': dos sous-espacessubespais <math>F_1</math> i <math>F_2</math> de ''E'' són anomenats [[suplementaris]] quan <math>E = F_1 \oplus F_2</math>. Allò significa que per a tot element ''u'' de ''E'', existeix una única parella <math>\ (u_1; u_2)</math> de <math>F_1 \times F_2</math> tal com <math>\ u = u_1 + u_2</math>.

Comme dans le cas de 2 sous-espacessubespais vectoriels, on peut caractériser les sommes directes par l'unicité de la décomposition du vecteur nul :

Com en el cas de 2 sous-espacessubespais vectorials, es pot caracteritzar els som directes per la unicitat de la descomposició del vector cap:

'''Remarque''' : dès que la famille comprend au moins 3 sous-espacessubespais, il ne suffit pas pour que la somme soit directe que leurs intersections deux à deux soient réduites à <math>\ \{0\}</math>, c'est-à-dire que :

'''Es fixa''': així que la família comprèn almenys 3 sous-espacessubespais, amb ell no n'hi ha prou perquè la suma sigui directa que les seves interseccions dos a dos estiguin reduïdes a <math>\ \{0\}</math>, és a dir que:

On s’en convaincra en regardant dans <math>\R^2</math> les sous-espacessubespais vectoriels :

Un se'n convencerà mirant en <math>\R^2</math> els sous-espacessubespais vectorials:

En revanche, on montre que les sous-espacessubespais de la famille des <math>\ (F_{i})_{1\geq i\geq n}</math> sont en somme directe dans <math>\ E</math> si et seulement si :

Per contra, s'ensenya que els sous-espacessubespais de la família dels <math>\ (F_{i})_{1\geq i\geq n}</math> és en suma directa en <math>\ E</math> si i només si:

Lorsque les sous-espacessubespais vectoriels sont de dimensions finies, on a encore l'équivalence des assertions suivantes :

Quan els sous-espacessubespais vectorials són de dimensions finites, es té encara l'equivalència de les assercions següents:

Pour tout entier ''i'' tel que 1 ≤ ''i'' ≤ p, <math> E_i = \mathrm{ker}(f - \lambda_i\, \mathrm{Id})</math> est le [[Valeur propre (synthèse)|sous-espacesubespai propre]] de ''f'' associé à la valeur propre <math>\ \lambda_i</math>.<br />

Per a tot enter ''i'' tal com 1 ≤; ''i'' ≤ pàg., <math> E_i = \mathrm{ker}(f - \lambda_i\, \mathrm{Id})</math> és el [[sous-espacesubespai propi]] de ''f'' associat al valor propi <math>\ \lambda_i</math>.<br />

On désigne ici par ''E'' un espace préhilbertien réel ou complexe (espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire). Soit une famille <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> de sous-espacessubespais vectoriels de ''E''. S'ils sont deux à deux orthogonaux, leur somme est directe. Elle est alors appelée '''somme directe orthogonale'''.

Es designa aquí per ''E'' un espai préhilbertien real o complex (espai vectorial real o complex proveït d'un producte escalar). Sigui una família <math>(F_i)_{i=1\cdots k}</math> de sous-espacessubespais vectorials de ''E'' . Si són dos a dos d'ortogonals, la seva suma és directa. És llavors anomenada '''suma directa ortogonal'''.

Un exemple très simple est l'espace <math>F^\perp</math> constitué des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs d'un sous-espacesubespai vectoriel ''F'' : il est en somme directe avec ''F''. L'égalité <math>E = F^\perp + F</math> n'est pas toujours vérifiée lorsque la dimension est infinie. Par contre, elle l'est dès que <math>E</math> est de dimension finie.

Un exemple molt senzill és l'espai <math>F^\perp</math> constituït dels vectors ortogonals a tots els vectors d'un sous-espacesubespai vectorial ''F'': és en suma directa amb ''F'' . La igualtat <math>E = F^\perp + F</math> no és sempre verificada quan la dimensió és infinita. En canvi, ho és així que <math>E</math> és de dimensió finita.

Deux espaces qui sont à la fois supplémentaires et orthogonaux sont dits '''supplémentaires orthogonaux'''. Un sous-espacesubespai vectoriel F de E, même s'il a des supplémentaires, n'en a pas nécessairement un qui lui soit orthogonal. Une condition suffisante est que l'espace F soit [[Espace_complet|complet]] (ce qui est réalisé [[topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|en particulier s'il est de dimension finie]]). Cette question est liée à la possibilité d'effectuer une [[projection orthogonale]].

Dos espais que són a la vegada suplementaris i ortogonals són anomenats '''suplementaris ortogonals'''. Un sous-espacesubespai vectorial F d'E, fins i tot si té suplementaris, no en té necessàriament un que el sigui ortogonal. Una condició suficient és que l'espai F sigui [[complet]] (allò que és realitzat [[en particular si és de dimensió finita)]]. Aquesta pregunta està vinculada a la possibilitat d'efectuar una [[projecció ortogonal]].

Lorsque les sous-espacessubespais vectoriels sont de dimensions finies, on a l'équivalence des assertions suivantes :

Quan els sous-espacessubespais vectorials són de dimensions finites, es té l'equivalència de les assercions següents:

Lorsque deux sous-espacessubespais <math>F_1</math>, <math>F_2</math> d'un espace vectoriel ''E'' sont en somme directe, l'application suivante est bijective :

Quan dos sous-espacessubespais <math>F_1</math>, <math>F_2</math> d'un espai vectorial ''E'' són en suma directa, l'aplicació següent és bijectiva:

Dès lors, <math>\tilde{E_1} = E_1 \times \{0\}</math> et <math>\tilde{E_2} = \{0\} \times E_2</math> sont deux sous-espacessubespais de <math>E_1 \times E_2</math>, respectivement isomorphes à <math>E_1</math> et <math>E_2</math> (on a "plongé" <math>E_1</math>, <math>E_2</math> dans le produit cartésien) ;

Des de llavors, <math>\tilde{E_1} = E_1 \times \{0\}</math> i <math>\tilde{E_2} = \{0\} \times E_2</math> són dos sous-espacessubespais de <math>E_1 \times E_2</math>, respectivament isomorfs a <math>E_1</math> i <math>E_2</math> (s'ha "submergit" <math>E_1</math>, <math>E_2</math> al producte cartesià);

:(car <math>E_1 \times E_2</math> est somme directe des deux sous-espacessubespais <math>\tilde{E_1}</math> et <math>\tilde{E_2}</math>, qui ont même dimension que <math>\ E_1</math>, <math>\ E_2</math> respectivement).

: (ja que <math>E_1 \times E_2</math> és suma directa dels dos sous-espacessubespais <math>\tilde{E_1}</math> i <math>\tilde{E_2}</math>, que tenen igual dimensió que <math>\ E_1</math>, <math>\ E_2</math> respectivament).

=== Suma directa externa d'algunsdiversos ''K'' -espais vectorials ===

En effet, soit <math>(E_i)_{i\in I}</math> une famille (éventuellement infinie) de ''K''-espaces vectoriels. La somme directe externe <math>\oplus_{i\in I} E_i</math> est le sous-espacesubespai vectoriel du [[produit direct]] <math>\prod_{i\in I} E_i</math> constitué des [[familles à support fini]]. La propriété universelle ci-dessous est la raison de ce choix.

En efecte, sigui <math>(E_i)_{i\in I}</math> una família (eventualment infinita) de ''K'' -espais vectorials. La suma directa externa <math>\oplus_{i\in I} E_i</math> és el sous-espacesubespai vectorial del [[producte directe]] <math>\prod_{i\in I} E_i</math> constituït de les [[famílies a suport finit]]. La propietat universal davall és la raó d'aquesta tria.

On peut, avec cette notion, élégamment définir la somme directe d'une famille infinie de sous-espacessubespais : Une famille de sous-espacesubespai de ''E'' est en somme directe si et seulement si le morphisme somme qui va de la somme directe externe de ces sous-espacessubespais dans ''E'' qui à une famille de vecteurs associe leur somme est injectif.

Es pot, amb aquesta noció, definir elegantment la suma directa d'una família infinita de sous-espacessubespais: Una família de sous-espacesubespai de ''E'' és en suma directa si i només si el morfisme ordena a qui va de la suma directa externa d'aquests sous-espacessubespais en ''E'' que a una família de vectors associa el seu son és injectif.

{{Caixa capsa desenrotllantdesplegable|align=left|títol=Démonstrations|contingut=