|
== Producte directe de grups==
In [[group (mathematics)|group theory]] one can define the direct product of two
En teoria de [[grup (matemàtiques)|grup]]s la TEORIA unes pot definir el producte directe de dos
groupsgrups (''( G'', *) andi (''( H'', ●●), denoteddenotat byper ''G'' ×× ''H''. ForPer a [[abeliangrup groupabelià|grups abelians]]s whichque are writtens'escriuen additivelyadditivament, ittambé mayes alsopot beanomenar called thela [[Direct sum of groups|directsuma sumdirecta ofde twodos groupsgrups]], denoteddenotats byper <math>G \oplus H</math>.
Es defineix de la manera següent: ▼grups ''( G'', *) i ''( H'', ●;), denotat a prop ''G'' × ''H'' . Per a [[grup abelià|grups abelians]] que s'escriuen additively, també es pot anomenar la [[suma directa de dos grups]], denotats per <math>G \oplus H</math>.
* elEl [[Conjunt|conjunt]] dels elements del grup nou són el ''[[producte cartesià]]'' dels conjunts d'elements de ''G'' i ''H'', allòaixò és {(''g'' ,'' h'') : ''g'' en ''G'', ''h'' en ''H'' }; ▼
* enEn aquests elements posatss'afegeix una operació, definida elementwiseelement a element: <Center>(''g'' , '' h'') × (''g' '' , '' h' '') = (''g'' * '' g' '' ) ), ''h (('' ● ; '' h' '') </center> ▼
( Fixi'sFixeu-vos que l'operació * pot ser la mateixa que ● ;.) ▼
It is defined as follows:
▲Es defineix de la manera següent:
* the [[Set (mathematics)|set]] of the elements of the new group is the ''[[cartesian product]]'' of the sets of elements of ''G'' and ''H'', that is {(''g'', ''h''): ''g'' in ''G'', ''h'' in ''H''};
▲* el [[Conjunt|conjunt]] dels elements del grup nou són el ''[[producte cartesià]]'' dels conjunts d'elements de ''G'' i ''H'', allò és {(''g'''' h'') : ''g'' en ''G'', ''h'' en ''H'' };
* on these elements put an operation, defined elementwise: <center>(''g'', ''h'') × (''g' '', ''h' '') = (''g'' * ''g' '', ''h'' ● ''h' '')</center>
▲* en aquests elements posats una operació, definida elementwise: <Center>(''g'''' h'') × (''g' '''' h''') = (''g''*'' g' '') ) h(( ●; '' h''') </center>
(Note the operation * may be the same as ●.)
▲(Fixi's que l'operació * pot ser la mateixa que ●;.)
This construction gives a new group. It has a [[normal subgroup]]
Aquesta construcció dóna un grup nou. Té un [[subgrup normal]]
[[isomorphicisomorfisme|isomorf]] toa ''G'' (givendonat by thepels elements ofde thela formforma (''g'', 1)),
i un de isomorf a ''H'' ( comprenentque compren els elements (1 , ''h'' )). ▼
L'invers també s'aguantaes compleix, hi ha el teorema de reconeixement següent: Si un grup ''K'' conté dos subgrups normals ''G'' i ''H'', taltals que ''K'' = ''Gh'' i la intersecció de ''G'' i ''H'' conté només la identitat, llavors ''K'' és isomorf a ''G'' x ''H'' . Una relaxació d'aquestes condicions, que exigeixen només que un subgrup sigui normal, dóna el [[producte semidirecte]]. ▼[[isomorfisme|isomorf]] a ''G'' (donat pels elements de la forma ''( g'', 1))
and one isomorphic to ''H'' (comprising the elements (1, ''h'')).
Com a exemple, agafiagafeu com ''G'' i ''H'' dues còpies de l'únic ( finstret ade▼▲i un isomorf a ''H'' (comprenent els elements (1 ''h'' )).
isomorphismsisomorfismes) grup de ld'ordre 2, ''C'' <sub>2</sub>: digui {1 ''a'' } i {1 ''b'' }. Llavors ''C'' <sub>2</sub>×''C'' <sub>2</sub> = {(1,1), (1 , b de,'' b'' ), (''a'',1), ('' a'' ,'' b'') }, amb l' operació element d'operació per element. Per exemple, (1 , b de,'' b'' )*(''a'',1) = (1*'' a'' , '' b''*1) = ('' a'' ) ), ''b''), i (1 b de, (('' b'')*(1,''b'' ) = (1 b de,'' b'' <sup>2</sup>) = (1,1). ▼
Amb un producte directe, aconseguims'aconsegueixen una bit dealguns [[homomorfisme de grup| grouphomomorfismes homomorphismsde grup]] naturalnaturals de franc: elsles mapes deaplicacions projecció ▼
The reverse also holds, there is the following recognition theorem: If a group ''K'' contains two normal subgroups ''G'' and ''H'', such that ''K''= ''GH'' and the intersection of ''G'' and ''H'' contains only the identity, then ''K'' is isomorphic to ''G'' x ''H''. A relaxation of these conditions, requiring only one subgroup to be normal, gives the [[semidirect product]].
▲L'invers també s'aguanta, hi ha el teorema de reconeixement següent: Si un grup ''K'' conté dos subgrups normals ''G'' i ''H'', tal que ''K'' = ''Gh'' i la intersecció de ''G'' i ''H'' conté només la identitat, llavors ''K'' és isomorf a ''G'' x ''H'' . Una relaxació d'aquestes condicions, que exigeixen només que un subgrup sigui normal, dóna el [[producte semidirecte]].
As an example, take as ''G'' and ''H'' two copies of the unique (up to
▲Com a exemple, agafi com ''G'' i ''H'' dues còpies de l'únic (fins a
isomorphisms) group of order 2, ''C''<sub>2</sub>: say {1, ''a''} and {1, ''b''}. Then ''C''<sub>2</sub>×''C''<sub>2</sub> = {(1,1), (1,''b''), (''a'',1), (''a'',''b'')}, with the operation element by element. For instance, (1,''b'')*(''a'',1) = (1*''a'', ''b''*1) = (''a'',''b''), and (1,''b'')*(1,''b'') = (1,''b''<sup>2</sup>) = (1,1).
▲isomorphisms) grup de l'ordre 2, ''C'' <sub>2</sub>: digui {1 ''a'' } i {1 ''b'' }. Llavors ''C'' <sub>2</sub>×''C'' <sub>2</sub> = {(1,1), (1 b de,'''' ), (''a'',1), ('' a'''' b'') }, amb l'element d'operació per element. Per exemple, (1 b de,'''' )*(''a'',1) = (1*'' a'''' b''*1) = ('' a'') ) b''), i (1 b de,(('' )*(1,''b'' ) = (1 b de,'''' <sup>2</sup>) = (1,1).
With a direct product, we get some natural [[group homomorphism]]s for free: the projection maps
▲Amb un producte directe, aconseguim una bit de [[homomorfisme de grup|group homomorphisms]] natural de franc: els mapes de projecció
:<math>\pi_1 \colon G \times H \to G\quad \mathrm{by} \quad \pi_1(g, h) = g</math>,
:<math>\pi_2 \colon G \times H \to H\quad \mathrm{by} \quad \pi_2(g, h) = h</math>
calledanomenades theles '''coordinatefuncions functionscoordenades'''.
També, totstot els homomorfismeshomomorfisme ''f'' en el producte directe ésqueda totalment determinat per les seves funcions de componentcomponents▼anomenat el '''la coordenada funciona'''.
Also, every homomorphism ''f'' on the direct product is totally determined by its component functions
▲També, tots els homomorfismes ''f'' en el producte directe és totalment determinat per les seves funcions de component
<math>f_i = \pi_i \circ f</math>.
Per a qualsevol grup ('' ( G'', *), i qualsevol enter ''n'' ≥ ; 0, l'aplicació múltiple del producte directe dóna el grup de tottotes les ''n'' -[[n-pla|tuples]] ''G'' <sup>''n'' </sup> (per ''n'' =0 el grup trivial). Exemples: ▼
For any group (''G'', *), and any integer ''n'' ≥ 0, multiple application of the direct product gives the group of all ''n''-[[tuple]]s ''G''<sup>''n''</sup> (for ''n''=0 the trivial group). Examples:
▲Per a qualsevol grup ''( G'', *), i qualsevol enter ''n'' ≥; 0, l'aplicació múltiple del producte directe dóna el grup de tot ''n'' -[[n-pla|tuples]] ''G'' <sup>''n'' </sup> (per ''n'' =0 el grup trivial). Exemples:
*'''Z'''<sup>''n''</sup>
* '''R'''<sup>''n'' </sup> (amb l'estructura addicional d'[[espai vectorial|espacial vectorial]] addicional això s'anomena [[ Espaiespai euclidià]], veure sotamés avall) ▼
* '''Z'''<sup>''n'' </sup>
*'''R'''<sup>''n''</sup> (with additional [[vector space]] structure this is called [[Euclidean space]], see below)
▲* '''R'''<sup>''n'' </sup> (amb estructura [[espai vectorial|espacial vectorial]] addicional això s'anomena [[Espai euclidià]], veure sota)
== Producte directe de mòduls ==
| 