|
== Producte directe d'espais topològics ==
The direct product for a collection of [[topological space]]s ''X<sub>i</sub>'' for ''i'' in ''I'', some index set, once again makes use of the cartesian product
El producte directe per a una recollida d'[[espai topològic|espais topològics]] ''X<sub>i</sub>'' per ''i'' en ''jo'', algun conjunt d'índex, una vegada més fa ús del producte cartesian ▼
▲El producte directe per a una recollidacolecció d'[[espai topològic|espais topològics]] ''X<sub>i</sub>'' per ''i'' ena '' joI'', algun conjunt d'índex, una vegada més fa ús del producte cartesiancartesià
:<math>\prod_{i \in I} X_i. </math>
Definir la [[topologia]] és una bitmica delicat. Per deuna maneraquantitat finitainfinita moltsde factors, aquesta és la cosa òbvia i natural pera fer: simplement considericonsiderar com a [[base (topologia)|base]] de conjunts oberts per ser la recollidacolecció de tots els productes cartesiancartesians de subconjunts oberts de cada factor: ▼
Defining the [[topology]] is a little tricky. For finitely many factors, this is the obvious and natural thing to do: simply take as a [[basis (topology)|basis]] of open sets to be the collection of all cartesian products of open subsets from each factor:
▲Definir la [[topologia]] és una bit delicat. Per de manera finita molts factors, aquesta és la cosa òbvia i natural per fer: simplement consideri com a [[base (topologia)|base]] de conjunts oberts per ser la recollida de tots els productes cartesian de subconjunts oberts de cada factor:
:<math>\mathcal B = \{ U_1 \times \cdots \times U_n\ |\ U_i\ \mathrm{open\ in}\ X_i \}.</math>
Aquesta topologia s'anomena la [[topologia producte|topologia de producte]]. Per exemple, definint directament definint la topologia de producte damunta '''R'''<sup>2</sup> prop delspels conjunts oberts de '''R''' ( disjointunions sindicatsdisjuntes d'intervals oberts), la base per d'aquesta topologia constaria de tottots disjointels sindicatsconjunts disjunts de rectangles oberts a elal pla ( mentre es presenta, coincideix amb la topologia [[espai mètric|mètrica]] habitual). ▼
La topologia de producte per a productes infinits té un gircanvia, i això haté dea ferveure amb potènciala ferpossibilitat continusde totsfer elscontinues mapestotes deles aplicacions projecció i convertir totes les funcions en el producte continu [[si i només si ]] totes les seves funcions de componentcomponents són contínues ( i.e.és a dir satisfer la definició categòrica de producte: els morphismsmorfismes aquí són funcions contínues): consideremes consideren com a base de conjunts oberts per ser la recollidacol·lecció de tots els productes cartesiancartesians de subconjunts oberts de cada factor, tancom abans, amb ella provisoprovisió allòde completamentque peròels moltsfactos delssón subconjuntstots oberts sóntrets de maneraquantitats finitainfinites elde factor sencersubconjunts: ▼
This topology is called the [[product topology]]. For example, directly defining the product topology on '''R'''<sup>2</sup> by the open sets of '''R''' (disjoint unions of open intervals), the basis for this topology would consist of all disjoint unions of open rectangles in the plane (as it turns out, it coincides with the usual [[metric space|metric]] topology).
▲Aquesta topologia s'anomena la [[topologia producte|topologia de producte]]. Per exemple, directament definint la topologia de producte damunt '''R'''<sup>2</sup> prop dels conjunts oberts de '''R''' (disjoint sindicats d'intervals oberts), la base per aquesta topologia constaria de tot disjoint sindicats de rectangles oberts a el pla (mentre es presenta, coincideix amb la topologia [[espai mètric|mètrica]] habitual).
The product topology for infinite products has a twist, and this has to do with being able to make all the projection maps continuous and to make all functions into the product continuous if and only if all its component functions are continuous (i.e. to satisfy the categorical definition of product: the morphisms here are continuous functions): we take as a basis of open sets to be the collection of all cartesian products of open subsets from each factor, as before, with the proviso that all but finitely many of the open subsets are the entire factor:
▲La topologia de producte per a productes infinits té un gir, i això ha de fer amb potència fer continus tots els mapes de projecció i convertir totes les funcions en el producte continu si i només si totes les seves funcions de component són contínues (i.e. satisfer la definició categòrica de producte: els morphisms aquí són funcions contínues): considerem com a base de conjunts oberts per ser la recollida de tots els productes cartesian de subconjunts oberts de cada factor, tan abans, amb el proviso allò completament però molts dels subconjunts oberts són de manera finita el factor sencer:
:<math>\mathcal B = \left\{ \prod_{i \in I} U_i\ |\ (\exists j_1,\ldots,j_n)(U_{j_i}\ \mathrm{open\ in}\ X_{j_i})\ \mathrm{and}\ (\forall i \neq j_1,\ldots,j_n)(U_i = X_i) \right\}.</math>
La topologia deque sondatgesembla més natural més seria, en aquest cas, per prendre productes d'infinitamentamb moltsquantitat obririnfinita de subconjunts tanoberts com abans, i això produeix una topologia una bitmica interessant, la [[topologia de caixa]]. Tanmateix no és massa difícil trobar continu ( vegivegüeu la topologia de caixa d'entrada separada per a més d'un exemple i més) un exemple de grapat d'exemples de funcions de component contínues i la funció el producte deldels qualquals lano funció noho és. El problema que fa necessari el gircanvi es plantaplanteja en el fons en elpel fet que en la definició de topologia la intersecció de conjunts oberts només es garanteixi perque sersigui obertoberta per dea maneraquantitats finitafinites moltsde conjunts en la definició de topologia. ▼
Els productes (amb la topologia de producte) són bonics respecte a propietats que conserven dels seus factors; per exemple, el producte d'espais Hausdorff és Hausdorff; el producte d'espais connexos està connectatconnex, i el producte d'espais compactes és compacte. L'últim resultat, anomenat [[El teorema de tychonoffTychonoff]], és encaratambé una altraforma equivalènciaequivalent ade l'[[axioma de l'elecció|axioma d'elecció]]. ▼
Per a més propietats i formulacions equivalents, vegivegueu la [[topologia producte |topologia]] de PRODUCTE d'entrada separada. ▼The more natural-sounding topology would be, in this case, to take products of infinitely many open subsets as before, and this does yield a somewhat interesting topology, the [[box topology]]. However it is not too difficult to find an example of bunch of continuous component functions whose product function is not continuous (see the separate entry box topology for an example and more). The problem which makes the twist necessary is ultimately rooted in the fact that the intersection of open sets is only guaranteed to be open for finitely many sets in the definition of topology.
▲La topologia de sondatge natural més seria, en aquest cas, per prendre productes d'infinitament molts obrir subconjunts tan abans, i això produeix una topologia una bit interessant, la [[topologia de caixa]]. Tanmateix no és massa difícil trobar continu (vegi la topologia de caixa d'entrada separada per a un exemple i més) un exemple de grapat de funcions de component contínues el producte del qual la funció no és. El problema que fa necessari el gir es planta en el fons en el fet que la intersecció de conjunts oberts només es garanteixi per ser obert per de manera finita molts conjunts en la definició de topologia.
Products (with the product topology) are nice with respect to preserving properties of their factors; for example, the product of Hausdorff spaces is Hausdorff; the product of connected spaces is connected, and the product of compact spaces is compact. That last one, called [[Tychonoff's theorem]], is yet another equivalence to the [[axiom of choice]].
▲Els productes (amb la topologia de producte) són bonics respecte a propietats que conserven dels seus factors; per exemple, el producte d'espais Hausdorff és Hausdorff; el producte d'espais connexos està connectat, i el producte d'espais compactes és compacte. L'últim, anomenat [[El teorema de tychonoff]], és encara una altra equivalència a l'[[axioma de l'elecció|axioma d'elecció]].
For more properties and equivalent formulations, see the separate entry [[product topology]].
▲Per a més propietats i formulacions equivalents, vegi la [[topologia producte|topologia]] de PRODUCTE d'entrada separada.
== Producte directe de relacions binàries ==
| 