Funció exhaustiva: diferència entre les revisions

[[Fitxer:Surjection.svg|framethumb|Una funció suprajectivaexhaustiva.]]

[[Fitxer:Bijection.svg|framethumb|Un altre funció suprajectivaexhaustiva.]]

[[Fitxer:Injection.svg|framethumb|Una funció que '''no és''' suprajectivaexhaustiva.]]

[[Fitxer:Surjective_composition.svg|framethumb|Composició suprajectivaexhaustiva: la primera funció no cal que sigui suprajectivaexhaustiva.]]

En [[matemàtiques]], es diu que una [[funció (matemàtiques)|funció]] ''f'' entre dos [[conjunt]]s és '''suprajectivaexhaustiva''', (també dita '''exhaustivaepijectiva''', '''surjectivasuprajectiva''' o '''epijectivasurjectiva''') quan tot element del conjunt d'arribada és imatge d'almenys un element del domini. És a dir, els valors de la funció abasten completament el [[codomini]]; això és: per a cada element ''y'' del codomini, hi ha almenys un ''x'' del [[domini (matemàtiques)|domini]] tal que ''f''(''x'') = ''y''.

Dit de un altre forma, una funció ''f'': ''X'' → ''Y'' és suprajectivaexhaustiva si i només si el seu [[recorregut (matemàtiques)|recorregut]] ''f''(''X'') és igual al seu [[codomini]] ''Y''.

*Per a qualsevol conjunt ''X'', la [[funció identitat]] id_''X'' de ''X'' és suprajectivaexhaustiva.

*La funció ''f'': ℝ → ℝ definida per ''f''(''x'') = 2''x'' + 1 és suprajectivaexhaustiva, perquè per a cada nombre real ''y'' es té ''f''(''x'') = ''y'' on ''x'' és (''y'' - 1)/2.

*La funció [[logaritme natural]] ln:&nbsp;<nowiki>(0,+∞)</nowiki>&nbsp;→&nbsp;ℝ és suprajectivaexhaustiva.

*La funció ''f'':&nbsp;ℤ&nbsp;→&nbsp;{0,1,2,3} definida per ''f''(''x'') = ''x'' '''[[Aritmètica modular|mòdul]]''' 4 és suprajectivaexhaustiva.

*La funció ''g'':&nbsp;ℝ&nbsp;→&nbsp;ℝ definida per ''g''(''x'')&nbsp;= ''x''² ''no'' és suprajectivaexhaustiva, perquè (per exemple) no hi ha cap nombre real ''x'' tal que ''x''²&nbsp;=&nbsp;−1. Ara bé, si el codomini es defineix com <nowiki>[0,+∞)</nowiki>, llavors ''g'' és suprajectivaexhaustiva.

Fixeu-vos que pot ser que ''g'' no sigui una [[funció inversa|inversa]] completa de ''f'' perquè la composició en l'altre ordre, ''g''&nbsp;{{mida|1=o}}&nbsp;∘''f'', pot no ser la identitat de ''X''. En altres paraules, f pot desfer o "''revertir''" ''g'', però no necessàriament pot ser revertida per aquesta. Les funcions suprajectivesexhaustives no sempre són [[funció inversa|invertibles]] ([[Funció bijectiva|bijectives]]).

Per exemple, a la ilustracióil·lustració, hi ha alguna funció ''g'' tal que ''g(C) = 4''. També hi ha alguna funció ''f'' tal que ''f(4) = C''. No importa que ''g(C)'' també pugui ser igual a 3; només importa que ''f'' "reverteix" ''g''.

* Si ''f'' i ''g'' són totes dues suprajectivesexhaustives, llavors ''f''&nbsp;{{mida|1=o}}&nbsp;∘''g'' és suprajectivaexhaustiva.

* Si ''f''&nbsp;{{mida|1=o}}&nbsp;∘''g'' és suprajectivaexhaustiva, llavors ''f'' és suprajectivaexhaustiva (però ''g'' pot no ser-ho).

* ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' és suprajectivaexhaustiva si i només si, donades dues funcions qualsevol ''g'',''h'':''Y''&nbsp;→&nbsp;''Z'', sempre que ''g''&nbsp;{{mida|1=o}}&nbsp;∘''f''&nbsp;= ''h''&nbsp;{{mida|1=o}}&nbsp;∘''f'', llavors ''g''&nbsp;=&nbsp;''h''. En altres paraules, Les funcions suprajectivesexhaustives són precisament els [[epimorfisme]]s de la [[teoria de categories|categoria]] [[Categoria de conjunts|'''Conjunt''']] de conjunts.

* Si ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' és suprajectivaexhaustiva i ''B'' és un [[subconjunt]] de ''Y'', llavors ''f''(''f''^&nbsp;−1(''B''))&nbsp;=&nbsp;''B''. Es a dir, ''B'' pot ser recuperat a partir de la seva [[antiimatge]] ''f''^&nbsp;−1(''B'').

* Per a qualsevol funció ''h'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Z'' hi ha una funció suprajectivaexhaustiva ''f'':''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' i una [[Funció injectiva|funció injectiva]] ''g'':''Y''&nbsp;→&nbsp;''Z'' tals que ''h''&nbsp;= ''g''&nbsp;{{mida|1=o}}&nbsp;∘''f''. Per veure-ho, es defineix ''Y'' els conjunts ''h''^&nbsp;−1(''z'') on ''z'' és de ''Z''. Aquests conjunts ónsón disjunts i parteixen ''X''. Per tant ''f'' porta cada ''x'' cap a l'element de ''Y'' que el conté, i ''g'' porta cada element de ''Y'' cap al punt de ''Z'' al qual ''h'' envia els seus punts. Per tant ''f'' és suprajectivaexhaustiva donat que és una projecció, i ''g'' és injectiva per definició.

*A base de col·lapsar tots els arguments que donen la mateixa imatge, tota funció suprajectivaexhaustiva indueix una bijecció definida sobre el quocient del seu domini. De forma més precisa, cada funció suprajectivaexhaustiva ''f'' : ''A'' → ''B'' pot ser descomposta en la composició de una projecció amb una bijecció tal com segueix. Sia ''A''/~ les classes de equivalència de ''A'' baix la següent relació d'equivalència: ''x'' ~ ''y'' si i només si ''f''(''x'') = ''f''(''y''). De forma equivalent, ''A''/~ és el conjunt de totes les antiimatges a través de ''f''. Sia ''P''(~) : ''A'' → ''A''/~ la aplicació projecció la qual envia cada ''x'' de ''A'' a la seva classe d'equivalència [''x'']_~, i sia ''f''_''P'' : ''A''/~ → ''B'' la funció donada per ''f''_''P''([''x'']_~) = ''f''(''x''). Llavors ''f'' = ''f''_''P'' o∘ ''P''(~).

* Si ''f'':&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' és una funció suprajectivaexhaustiva, llavors ''X'' té com a mínim tants elements com ''Y'', en el sentit del [[nombre cardinal]].

* Si tots dos ''X'' i ''Y'' són [[conjunt finit|finits]] amb el mateix nombre d'elements, llavors ''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''Y'' és suprajectivaexhaustiva si i només si ''f'' és [[injectiva]].

{{ORDENA:Funcio SuprajectivaExhaustiva}} <!--ORDENA generat per bot-->