Espai tangent: diferència entre les revisions

{{Traducció|en|Tangent space}}

 

 

[[Image:Tangent-plane.svg|thumb|A pictorial representation of the tangent space of a single point, ''x'', on a sphere. A vector in this tangent space can represent a possible velocity at ''x''. After moving in that direction to another nearby point, one's velocity would then be given by a vector in the tangent space of that nearby point—a different tangent space, not shown.]]

 

Tots els espais de tangent es poden "enganxar" per formar una varietat diferenciable nova de dues vegades la dimensió, el [[fibrat tangent|farcell de tangent]] de la varietat.

 

There are various equivalent ways of defining the tangent spaces of a manifold. While the definition via directions of curves is quite straightforward given the above intuition, it is also the most cumbersome to work with. More elegant and abstract approaches are described below.

 

Hi ha diverses maneres equivalents de definir els espais de tangent d'una varietat. Mentre que la definició mitjançant direccions de corbes és bastant sincera donat la intuïció citada, és també el més feixuc treballar amb. Més aproximacions elegants i abstractes es descriuen sota.

 

=== Definició com direccions de corbes ===

Definir les operacions espacials vectorials en T_''x''''M'', utilitzem una carta φ; : ''U'' → '''R'''^''n'' i defineix el [[mapa]] (dφ)_''x'' : T_''x''''M'' →; '''R'''^''n'' per (dφ)_''x''(γ'(0)) = <math>\scriptstyle\frac{d}{dt}</math>(φ; ∘ γ)(0). Resulta que aquest mapa sigui [[funció bijectiva|bijectiu]] i es pot així fa servirr per transferir les operacions espacials vectorials de '''R'''^''n'' sobre a T_''x''''M'', girant l'últim a un ''n'' -espai vectorial real dimensional. Una altra vegada, un necessita comprovar que aquesta construcció no depèn de la carta particular φ; escollit, i de fet això fa no.

 

 

=== Definició mitjançant derivacions ===

 

 

Again we start with a C^∞ manifold, ''M'', and a point, ''x'', in ''M''. Consider the [[ideal (ring theory)|ideal]], ''I'', in C^∞(''M'') consisting of all functions, ƒ, such that ƒ(''x'') = 0. Then ''I'' and ''I''^&nbsp;2 are real vector spaces, and T_''x''''M'' may be defined as the [[dual space]] of the [[quotient space (linear algebra)|quotient space]] ''I'' / ''I''^&nbsp;2. This latter quotient space is also known as the [[cotangent space]] of ''M'' at ''x''.

 

Si ''D'' és una derivació, llavors ''D'' (ƒ;) = 0 per a tots els ƒ; en ''jo'' ², i aquest mitjà allò ''D'' dóna aconseguir un mapa lineal ''jo'' / ''jo'' ² →; '''R'''. Al contrari, si ''r'' : ''jo'' / ''jo'' ² →; '''R''' és un mapa lineal, llavors ''D'' (ƒ;) = ''r'' ''ƒ - ƒ(''x'') ) + (( jo'' ²) és una derivació. Això produeix la correspondència entre l'espai de tangent definit mitjançant derivacions i l'espai de tangent definit via l'espai de cotangent.

 

 

== Propietats ==

Si ''M'' és un subconjunt obert de '''R'''^''n'', llavors ''M'' és una varietat de C^∞ en una conducta natural (consideri que les cartes són els [[Funció identitat|mapes d'identitat)]], i els espais de tangent tots naturalment són identificats amb '''R'''^''n''.

 

One way to think about tangent vectors is as [[directional derivative]]s. Given a vector ''v'' in '''R'''^''n'' one defines the directional derivative of a smooth map ƒ: '''R'''^''n''→'''R''' at a point ''x'' by

 

 

 

 

 

Això és una generalització del [[teorema de la funció inversa|teorema de funció invers]] a mapes entre varietats.

 

 

== Referències ==

 

 

* [http://mathworld.wolfram.com/TangentPlane.html Tangent Planes] at MathWorld

 

* [Avions de Tangent de http://mathworld.wolfram.com/TangentPlane.html] a MathWorld

 

 

[[da:Tangentrum]]