Conjunt obert: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
m Ortografia |
||
Línia 5:
En el cas anterior, si s'hagués agafat el conjunt <math>(0,1]\,</math>, no podríem dir el mateix, ja que per <math>x=1\,</math> no existeix cap <math>\varepsilon >0\,</math> que compleixi la condició.
El fet que un cert conjunt sigui '''obert''' o no, també pot dependre del conjunt continent. Així per exemple, el conjunt dels [[nombre racional|nombres racionals]], entre 0 i 1, sense el 0 ni el 1, és '''obert''' a <math>\mathbb Q\,</math> (conjunt de tots el números racionals), en canvi no és '''obert''' a <math>\mathbb R\,</math> (conjunt de tots el números reals)
==Definicions==
Línia 16:
*La unió arbitrària de conjunts de <math>\mathbf T\,</math> és un conjunt de <math>\mathbf T\,</math>.
*La intersecció finita de conjunts de <math>\mathbf T\,</math>, és un conjunt de <math>\mathbf T\,</math>.
*
Amb aquestes condicions, <math>\mathrm X\,</math> és un espai topològic, i a <math>\mathbf T\,</math> se l'anomena [[topologia]] de <math>\mathrm X\,</math>, i per definició, els conjunts de <math>\mathbf T\,</math> són '''conjunts oberts'''.
L'[[espai topològic]] ve especificat per la parella <math>(\mathrm {X}, \mathbf {T})\,</math>.
Línia 25:
===Espais mètrics===
En el cas dels [[espai mètric|espais mètrics]], la definició
Sigui <math>U\,</math> un subconjunt d'un [[espai mètric]] <math>(M,d)\,</math>, es dirà que <math>U\,</math> és '''obert''' si:
Línia 31:
===Espais euclidians===
En el cas dels [[espai euclidià|espais euclidians]], com [[espai mètric|espais mètrics]] que són, és pot dir que un conjunt <math>U\sub \mathbb{R}^n
: <center> <math>\forall x \in U, \exists \varepsilon >0 | \forall y\in B_\varepsilon (x )\Rightarrow y\in U\,</math></center>
on <math>B_\varepsilon (x )\,</math> és la bola centrada a <math>x\,</math> i de radi <math>\varepsilon\,</math>
| |||