Teoria de grups: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Línia 40:
=== Grups de permutacions ===
La primera classe de grups que es va estudiar de forma sistemàtica varen ser els [[grups de permutacions]]. Donat qualsevol conjunt ''X'' i una col·lecció ''G'' de [[funció bijectiva|bijeccions]] de ''X'' en si mateix (conegudes com ''permutacions'') que és tancat sota composicions i la inversa, ''G'' és un grup [[acció de grup|actuant]] sobre ''X''. Si ''X'' consta de ''n'' elements i ''G'' consisteix en ''totes'' les permutacions, ''G'' és el [[grup simètric]] ''S''<sub>''n'' </sub>; en general ''G'' és un [[subgrup]] del grup simètric de ''X''. Una primera construcció deguda a [[Arthur Cayley|Cayley]] presentava qualsevol grup com a grup de permutació, actuant sobre si mateix (''X'' = '' G'') per mitjà de la [[representació regular]] per l'esquerra.
En molts casos, l'estructura d'un grup de permutació es pot estudiar fent servir les propietats de la seva acció en el conjunt corresponent. Per exemple, d'aquesta manera es demostra que per ''n'' ≥ 5, el [[grup alternat]] ''A'' <sub>''n'' </sub> és [[grup simple|simple]], és a dir no admet [[subgrup normal|subgrups normals]] propis. Aquest fet juga un paper clau en la [[Teorema d'Abel-Ruffini|impossibilitat de resoldre una equació algebraica general de grau ''n'' ≥ 5 amb radicals]].
=== Grup de matrius ===
| |||