|
L''''axioma d'elecció'''' és un [[axioma]] de [[teoria de conjunts]]. El va formular [[Zermelo, Ernst|Ernst Zermelo]] fa uns cent anys, i aleshores va provocar una certa controvèrsia en el moment. Estableix el següent:
Estableix el següent:
*Sigui X una col·lecció de [[conjunt|conjunts]] no [[buits]]. Llavors podem escollir un membre de cada conjunt de la col·lecció.
Més formalment seria:
*Existeix una [[funció ]] ''f'' definida aen X tal que per a cada [[conjunt ]] S aen X, f(S) és un element de S. ▼
Una altra formulació de l ''''axioma d'elecció ''' (AE) estableix que: ▼
donat*Donat un [[conjunt |conjunts]] de [[conjunts disjunts ]] (sense [[intersecció|interseccions ]]) no [[conjunt buit|buits ]], existeix al menysalmenys un [[conjunt ]] que té exactament un element en comú amb cadascun dels [[conjunt|conjunts ]] no [[conjunt buit|buits ]]. ▼▲Existeix una funció ''f'' definida a X tal que per cada conjunt S a X, f(S) és un element de S.
caixesEn ambuna alsèrie de capses amb menysalmenys un objecte a cadascuna, l'axioma estableix senzillament que es pot escollir un objecte de cada caixacapsa. On estàhi ha la dificultat? ▼▲Una altra formulació de l'axioma d'elecció (AE) estableix que:
Bé, veiemvegem-ne alguns exemples: ▼▲donat un conjunt de conjunts disjunts (sense interseccions) no buits, existeix al menys un conjunt que té exactament un element en comú amb cadascun dels conjunts no buits.
▲caixes amb al menys un objecte a cadascuna, l'axioma estableix senzillament que es pot escollir un objecte de cada caixa. On està la dificultat?
1. Sigui X una col·lecció ''finita'' de [[conjunt|conjunts ]] no [[conjunt buit|buits ]]. ▼▲Bé, veiem alguns exemples:
Aquí tot és senzill, i l ''''axioma d'elecció ''' no és necessari, només cal seguir les regles de la ▼
▲1. Sigui X una col·lecció ''finita'' de conjunts no buits.
▲Aquí tot és senzill, i l'axioma d'elecció no és necessari, només cal seguir les regles de la
lògica formal.
2. Sigui X la col·lecció de tots els [[conjunt|conjunts]] no [[conjunt buit|buits]] dels nombres naturals {0, 1, 2, 3, ... }.
Llavors ''f'' pot ser la [[funció]] que escull el menor element de cada [[conjunt]].
De nouNovament, l''''axioma d'elecció''' no és necessari, doncsja que tenim una regla per escollir.
3. Sigui X la col·lecció de tots els sub-intervalsintèrvals de (0, 1) amb longitud superior a 0.
Llavors ''f'' pot ser la [[funció]] que escull el [[punt migmitjà]] de cada [[intèrval]]. DeUna noualtra vegada, l''''axioma d'elecció''' no és necessari.
4. Sigui X la col·lecció de tots els [[conjunt|conjunts]] no [[conjunt buit|buits]] dels [[nombres reals]].
Llavors tenim un problema. No existeix cap definició òbvia de ''f'', ja que la resta d'[[axioma|axiomes]] de la [[teoria de conjunts]] ZF no ordenen adequadament els [[nombre real|nombres reals]].
Aquí estàhi ha la clau de l'[[axioma]]. Només estableix que existeix alguna [[funció]] f que pot escollir un element de cada conjunt de la col·lecció. No donadóna cap indicació de com s'hauria de definir la [[funció]], senzillament en manté la seva l'existència. Els [[teorema|teoremes]] la prova dels quals inclou l'''axioma d'elecció'' són sempre [[no- constructiu|no constructius]]: postulen l'existència de quelcom sense indicar com obtenir-ho.
S'ha demostrat que "l''''axioma "d'elecció''' és independent de la resta d'[[axioma|axiomes]] de la [[teoria de conjunts]]; això és a dir, no es pot demostrar ni refutar. Això és el resultat del treball de Kurt [[Gödel, Kurt|Kurt Gödel]] i [[Cohen, Paul|Paul Cohen]]. Així, no exiteixenhi ha contradiccions, tant si s'accepta ocom si no s'accepta; de tota maneratanmateix, la majoria dels [[Matemàtiques|matemàtics]] l'accepten, o bé n'accepten una versió feble del mateix, ja que així se'ls simplifica la seva feina.
Una de les raons per la qual a alguns [[Matemàtiques|matemàtics]] no els agrada particularment l''''axioma d'elecció''' és que implica l'existència d'alguns objectes extranysestranys no intuitius[[|intuïtius]]. Un exemple d'això és la Paradoxa[[paradoxa de Banach-Tarski]] que conclou que és possible de "dividir" l'[[esfera]] 3-dimensionaltridimensional en un nombre de peces finit, i, usant només [[rotació]] i [[translació]], ajuntar les peces formant dues boles cadascuna amb el mateix [[volum]] que l'original. Cal notar que, com totes les proves que inclouen thel''''axioma axiom of choiced'elecció''', no diu com cal fer-ho, només diu que es pot fer.
Un dels aspectes més interessants de l''''axioma d'elecció''' és els llocs curiosos de les [[matemàtiques]] on surt. Així, hi ha un nombre remarcable de d'afirmacions que són equivalents a l''''axioma d'elecció,'''. elsEls més importants són el [[lema de Zorn]] i el [[principi de bon ordenament]]: cada [[conjunt]] pot ser ben ordenat. (De fet, [[Zermelo, Ernst|Zermelo]] va introduir inicialment l''''axioma d'elecció''' per formalitzar la seva prova del [[principi de bon ordenament.]]).
[[Jerry Bona, Jerry Bona|Jerry Bona]] va dir ununa copvegada: "L''''axioma d'elecció''' és obviamentòbviament cert, el [[principi de bon ordenament]] obviamentòbviament fals, i quivés sapa saber si ho és el Lema[[lema de Zorn]]?".
| 