Teorema de Bolzano-Weierstrass: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 15:
En efecte, si ∀n, a ≤ a<sub>n</sub> ≤ b (perquè a<sub>n</sub> és fitada) denotem per ''I<sub>0</sub>'' el conjunt de nombres reals ''x'' que compleixen a≤ x ≤b. Llavors dividim ''I<sub>0</sub>'' en dues meitats i escollim la meitat de la dreta si conté infinits termes de la successió a<sub>n</sub>, en cas contrari, escollim la meitat esquerra. Denotem per ''I<sub>1</sub>'' la meitat escollida. Aleshores tornem a dividir ''I<sub>1</sub>'' en dues meitats i n'escollim una aplicant el criteri anterior. Denotem per ''I<sub>2</sub>'' la meitat escollida. Repetim el procés indefinidament.
D'aquesta manera tenim que tots els conjunts escollits ''I<sub>0</sub>, I<sub>1</sub>, I<sub>2</sub>'', ... contenen infinits termes i a més a més, cada un d'ells és subconjunt de l'anterior ja que conté la meitat de termes que l'anterior. És a dir, cada subconjunt ''I<sub>k</sub>'' té la meitat de llargada que el seu anterior, i per tant, el conjunt ''I<sub>K</sub>'' tindrà una llargada ''L<sub>K</sub>'' = (b - a)/2<sup>K</sup>. Llavors podem construir una successió {a<sub>n<sub>k</sub></sub>} ∈ ''I<sub>K</sub>'' i ''n<sub>k</sub>'' < ''n<sub>k+1</sub>'' (que vol dir que la successió no s'acaba, ja que a cada ''I<sub>K</sub>'' sempre hi ha infinits termes de la successió a<sub>n</sub>). A més a més, {a<sub>n<sub>k</sub></sub>} és una successió parcial de a<sub>n</sub>. Aquesta successió parcial és una [[successió de Cauchy]] ja que, per construcció, si ''n<sub>k</sub>'' < ''n<sub>l</sub>'' ⇒ ∣a<sub>n<sub>k</sub></sub> - a<sub>n<sub>l</sub></sub>∣ < ''L<sub>k</sub> = (b - a)/2<sup>K</sup>. Com que la successió és de Cauchy també és convergent (ja que estem treballant a '''R''').
[[Fitxer:teorema Bolzano - Weiertrass.png]]
| |||