L'objectifobjectiu estés de construireconstruir ununa surcorpsextensió <math> ^*\mathbb R </math> de <math> \mathbb R </math> possédantque descontingui nombres infinimentinfinitament grandsgrans eti infinimentinfinitament petits. CeAquesta surcorpsextenssió devrahaurà resterde continuar sent totalementtotalment ordonnéordenat eti vérifierverificar que touttot nombre ''x'' nonno infinimentinfinitament grandgran s'écritescriu ''x''*+ε avecamb ''x''* un nombre réelreal eti ε un nombre infinitésimalinfinitessimal.<ref> En réalitérealitat, on exiges'exigeix égalementtambé que toutestotes les propriétéspropietats de '''R''' soientes conservéesconservin, cecosa quique peutpot paraîtresemblar absurdeabsurda ('''R''' estés en effetefecte leel plusmajor grandcos ordenat corps ordonné archimédienarquimedià), mais enperò modifiantmodificant légèrementlleugerament leel senssentit de propriétéspropietats tellestals quecom cellela de la bornefita supérieuresuperior, la constructionconstrucció quique suitsegueix permet dassolir l'aboutirèxit, commecom l'aho ha montrémostrat Robinson</ref>
L'objectiu és de construir un sobrecos <math> ^*\mathbb R </math> de <math> \mathbb R </math> posseint nombres infinitament grans i infinitament petits. Aquest sobrecos haurà de continuar sent totalment ordenat i verificar que tot enumera ''x'' no infinitament gran s'és escrit ''x'' *+ε; amb ''x'' * un nombre real i ε; un nombre infinitessimal.<ref> En realitat, s'exigeix igualment que totes les propietats de '''R''' siguin conservades, allò que pot semblar absurd '''( R''' és en efecte el major cos ordenat archimédien), però modificant lleugerament el sentit de propietats tals com la de la fita superior, la construcció que segueix permet tenir èxit, com ho ha ensenyat Robinson</ref>
Linha 65 ⟶ 63:
S'anota que el [[nombre cardinal|cardenal]] de <math> ^*\mathbb R </math> és <math> 2^{\aleph_0} </math> i per tant aquest conjunt és [[equipotència|equipotencial]] a <math> \mathbb R </math>; tanmateix, es pot ensenyar que el conjunt exacte obtingut depèn de l'ultrafiltre escollit: tots els sistemes de nombres hiperreals construïts així no són isomorfs entre ells.
