Viquipèdia

Nombre hiperreal: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
Línia 29:
Aquesta construcció fa intervenir de forma natural les successions de nombres reals; així la sucessió <math>(1/n)</math> s'interpreta com un nombre infinitament petit i (''n''<sup>2</sup>) com un d'infinitament gran. Els nombres reals es representen per les successions constants. L'addició i la multiplicació de successions proveeixen bases adequades per obtenir una estructura de cos. Desgraciadament falla l'ordre total: no és clar si el nombre hiperreal definit per la suvcessió oscil·lant (1, -1, 1, -1...) és estrictament positiu o estrictament negatiu. S'observa dit això que donades dues successions de reals, els conjunts d'índex on un és superior a l'altre són complementaris. Escollir un ordre total sobre els nombres hiperreals és doncs equivalent a escollir una part de '''N''' en cada parella de parts <math>(A; \mathbb{N}\setminus A)</math>. Aquesta última tria porta directament a la noció d'[[ultrafiltre]] sobre '''N''', d'on es desprèn tota la construcció que segueix<ref>Cal amb tot fixar-se que amb construccions molt més simples n'hi ha prou per obtenir extensions de '''R''' que posseeixin infinitesimals, per exemple el cos de les fraccions racionals '''R'''(X); però aquestes extensions no permeten un verdader anàlisi no estàndard; així, en '''R'''(X), no es disposa d'una funció exponencial...</Ref>.
 
La construcció de lesdels hiperrealitatshiperreals es fa a partir d'un [[ultrafiltre]] ''U'' sobre '''N''' que no conté cap part finita de '''N''' (es diu que és un ultrafiltre ''lliure'' ). Desgraciadament no es pot exhibirpresentar un tal ultrafiltre ''U'', l'existència del qual l'existència descansa sobre el refinament del filtre de les parts coacabadescofinites de '''N''' pel [[lema de Zorn|Lema de zorn]], i per tant en definitiva sobre l'[[axioma de l'elecció|axioma de la tria]]. ▼
 
Es construeix el conjunt ''M'' de les continuacionssuccessions de realitatsreals <math>(z_n)</math> del qual el conjunt dels indicisindex de les quals és ''non'' on <math> z_n = 0 </math> és un element de l'ultrafiltre. Es pot escriure de manera condensada <math> M = \{a \in \mathbb R^{\mathbb N}\|\ a^{-1}(\{0\}) \in U\} </math>.▼
 
Tal conjunt ''M'' és un [[ideal maximal|ideal màxim]] de l'[[anell commutatiu]] de les continuacionssuccessions de realitatsreals <math> \mathbb R^{\mathbb N} </math>. DoncsPer tant l'[[anell quocient]]▼
La construction des hyperréels se fait à partir d'un [[ultrafiltre]] ''U'' sur '''N''' qui ne contient aucune partie finie de '''N''' (on dit que c'est un ultrafiltre ''libre''). On ne peut malheureusement pas exhiber un tel ultrafiltre ''U'', dont l'existence repose sur le raffinement du filtre des parties cofinies de '''N''' par le [[lemme de Zorn]], et donc en définitive sur l'[[axiome du choix]].
<math> \mathbb R^{\mathbb N} / M </math> estés un [[corpscos (matemàtiques)|cos]] ordonnéordenat commutatifcommutatiu quique contientconté <math> \mathbb R </math>.<ref>▼
 
▲La construcció de les hiperrealitats es fa a partir d'un [[ultrafiltre]] ''U'' sobre '''N''' que no conté cap part finita de '''N''' (es diu que és un ultrafiltre ''lliure'' ). Desgraciadament no es pot exhibir un tal ultrafiltre ''U'', del qual l'existència descansa sobre el refinament del filtre de les parts coacabades de '''N''' pel [[lema de Zorn|Lema de zorn]], i per tant en definitiva sobre l'[[axioma de l'elecció|axioma de la tria]].
 
 
 
On construit l'ensemble ''M'' des suites de réels <math>(z_n)</math> dont l'ensemble des indices ''n'' où <math> z_n = 0 </math> est un élément de l'ultrafiltre. On peut écrire de manière condensée <math> M = \{a \in \mathbb R^{\mathbb N}\ |\ a^{-1}(\{0\}) \in U\} </math>.
 
▲Es construeix el conjunt ''M'' de les continuacions de realitats <math>(z_n)</math> del qual el conjunt dels indicis ''no'' on <math> z_n = 0 </math> és un element de l'ultrafiltre. Es pot escriure de manera condensada <math> M = \{a \in \mathbb R^{\mathbb N}\|\ a^{-1}(\{0\}) \in U\} </math>.
Un tel ensemble ''M'' est un [[idéal maximal]] de l'[[anneau commutatif]] des suites de réels <math> \mathbb R^{\mathbb N} </math>. Donc l'[[anneau quotient]]
 
▲Tal conjunt ''M'' és un [[ideal maximal|ideal màxim]] de l'[[anell commutatiu]] de les continuacions de realitats <math> \mathbb R^{\mathbb N} </math>. Doncs l'[[anell quocient]]
▲<math> \mathbb R^{\mathbb N} / M </math> est un [[corps]] ordonné commutatif qui contient <math> \mathbb R </math>.<ref>
[http://www.emis.de/journals/BBMS/Bulletin/sup961/petry.pdf Balade en analyse non-standard sur les traces de Robinson]</ref>
 
[http://www.emis.de/journals/Bbms/Bulletin/sup961/petry.pdf Passeja en anàlisi no-estàndar sobre els rastres de Robinson]</ref>
Cet ensemble (muni des lois induites par le quotient) est un surcorps de <math> \mathbb R </math> totalement ordonné. Il contient par exemple
 
Aquest conjunt (proveït de les lleis induïdes pel quocient) és un sobrecos de <math> \mathbb R </math> totalment ordenat. Conté per exemple▼
l'infiniment petit (1,1/2,1/3,...,1/''n'',...) (ou plus précisément la classe d'équivalence de cette suite). On perd par contre le théorème de la borne supérieure sur les nombres hyperréels.▼
 
▲Aquest conjunt (proveït de les lleis induïdes pel quocient) és ununa sobrecosextensió dedel cos <math> \mathbb R </math> totalment ordenat. Conté per exemple
l'infinitament petit (1,1/2,1/3...,1/''n'' ,...) (o més precisament la classe d'equivalència d'aquesta continuació). Es perd en canvi el teorema de la fita superior sobre els nombres hiperreals.
▲l'infinimentinfinitament petit (1,1/2,1/3,...,1/''n'' ,...) (ouo plusmés précisémentprecisament la classe d'équivalenceequivalència de cetted'aquesta suitesuccessió). OnEs perd paren contrecanvi leel théorèmeteorema de la bornefita supérieuresuperior sursobre lesels nombres hyperréelshiperreals.
 
 
Obtingut de «https://ca.wikipedia.org/wiki/Nombre_hiperreal»