Nombre hiperreal: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
Cap resum de modificació |
|||
Línia 20:
La construcció de Robinson utilitzava essencialment la [[teoria de models|teoria dels models]]. Una construcció més explícita amb l'ajuda d'ultraproductes (i qui unia les construccions d'Hewitt) va ser descoberta alguns anys més tard, i és la que s'exposarà aquí. Llavors, un enfocament axiomàtic més general de l'anàlisi no estàndard, la teoria dels conjunts interns (''Internal Set Theory'', o IST), va ser proposada per [[Edward Nelson]]: es basa en l'[[teoria de conjunts|axiomàtica de Zermelo-Fraenkel]] a la qual s'afegeixen tres axiomes nous; la descripció detallada d'aquests axiomes i de les seves conseqüències es donarà a l'article: [[anàlisi no estàndard]]. En aquesta últim enfocament (que té d'altra banda aplicacions molt més generals que la construcció d'infinitesimal), no es creen parlant pròpiament nous reals, sinó que es distingeix entre els reals una col·lecció (que '''no és pas''' un conjunt) de reals estàndard, els altres es comporten respecte d'aquests com infinitament petits o infinitament grans per exemple.
== Explicació intuïtiva ==
Una forma d'entendre els nombres reals és pensar que un nombre real és la classe d'equivalència de totes les successions de Cauchy que tenen els mateix límit.
Així les successions:
*x<sub>1</sub> = 1, 1, 1, ....
*x<sub>2</sub>= 1+1, 1+1/2, 1+1/4, 1+1/8 ...
*x<sub>3</sub>= 1+2, 1+2/2, 1+2/4, 1+2/8 ...
Pertanyen totes a la mateixa classe (perquè tenen el mateix límit) i per tant totes es poden prendre com a representant del mateix nombre real: 1
Llavors en nombres reals la operació:
* (x<sub>3</sub> - x<sub>1</sub>) / (x<sub>3</sub> - x<sub>2</sub>)
No es pot calcular ja que dóna 0/0 que no està definit. En el fons el problema pel qual no es pot fer el càlcul directament amb els nombres reals és perquè "han perdut la memòria" de la successió que els defineix i cal reconstruir-la. Cal emprar límits.
Els nombres hiperreals es poden entendre com una extensió dels nombres reals on no s'identifiquen totes les successions de Cauchy amb el mateix límit sinó que es consideren diferents les que tendeixen amb diferent rapidesa al límit.
Així, si es diu
ε = 1, 1/2, 1/4, 1/8 ...
Els nombres hiperreals com ε que corresponen a successions que tendeixen a zero però que no són zero es diuen infinitesimals.
Llavors:
*x<sub>1</sub> = 1
*x<sub>2</sub>= 1 + ε
*x<sub>3</sub>= 1 + 2ε
Ara aquestes sucessions s'identifiquen amb diferents nombres hiperreals i ara sí que es pot fer el càlcul:
* (x<sub>3</sub> - x<sub>1</sub>) / (x<sub>3</sub> - x<sub>2</sub>) = [(1 + 2ε) - 1] / [(1 + ε) - 1] = 2ε / ε = 2.
Perquè es puguin fer les operacions aritmètiques habituals
En el conjunt dels nombres hipereals s'admenten també nombres infinits (sucessions que tendeixen a infinit). Això permet què es puguin fer les operacions aritmètiques habituals en el conjunt dels nombres hipereals de forma que l'invers d'un nombre infinitesimal és un nombre infinit:
:<math>\frac{1}{\varepsilon }=K</math>
== Construcció ==
| |||