Matriu hessiana: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m r2.6.3) (Robot afegeix: sl:Hessova matrika |
|||
Línia 47:
:* '''Mínim''': si la matriu Hessiana en el punt és ''definida positiva'' (tots els menors preferents dominants són més grans que 0).
:* '''Punt de Sella''': si la matriu Hessiana en el punt és ''indefinida'' (no definida o semidefinida positiva ni definida o semidefinida negativa).
=== Matriu Hessiana orlada ===
Una altra aplicació de la matriu Hessiana és, en una funció ''f'' de n variables restringida a un domini determinat per una funció o funcions ''g '' = ''C'' on ''C'' es una constant , determinar si els seus punts crítics són màxims locals o mínims locals. El procés és el següent:
* S'obté el valor o valors crítics de ''f'' restringida a ''g '' = ''C'', així com el valor del multiplicador de Lagrange (λ).
* Plantegem la Matriu Hessiana. La forma general de la qual és:
:<math>H(f,g) = \begin{bmatrix}
0 & \frac{\partial g}{\partial x_1} & \frac{\partial g}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial g}{\partial x_n} \\ \\
\frac{\partial g}{\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\
\frac{\partial g}{\partial x_2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
\frac{\partial g}{\partial x_n} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix}</math>
On ''f'' de la matriu Hessiana orlada correspondria a la funció Lagrangiana.
* Calculem la Hessiana orlada al punt crític.
* Estudiem si el punt crític és un màxim o un mínim:
# Es tractarà d'un màxim local de la funció ''f'' sota les restriccions ''g''= C si els últims n - m (on n és el número de variables i m el número de restriccions)menors principals dominants de la matriu Hessiana orlada evaluats al punt crític tenen signes alternats començant amb un signe negatiu.
# Es tractarà d'un mínim local de la funció ''f'' sota les restriccions ''g''= C si els últims n - m (on n és el número de variables i m el número de restriccions)menors principals dominants de la matriu Hessiana orlada evaluats al punt crític tenen tots signe negatiu.
== Vegeu també ==
* [[Jacobià]]
| |||