Multiplicació de matrius: diferència entre les revisions

Donada una [[Matriu (matemàtiques) | matriu]] '' A '' de '' m '' [[Vector fila | files]] i '' n '' columnes a coeficients en un [[Vector columnacos (matemàtiques)| columnescos]] ''K'', que podem expressar com

: <math> A: = (a_{iji,j}) _{m\times n}</math>

la multiplicació de '' A '' per un [[escalar]] '' k'' de ''K'', que s'expressa '' k'' · A '', '' k × A '' o simplement '' kA '', es defineix com:

: <math> kA: = (k\cdot a_{iji,j}) _{m\times n}</math>

és a dir, correspon a la matriu formada per cada element de la matriu inicial, multiplicat per aquest escalar.

\begin{bmatrixpmatrix}

ka_{111,1}& ...\cdots & Ka_ka_{1n1,n}\\

...\vdots & ...\ddots & ...\vdots\\

ka_{m1m,1}& ...\cdots & Ka_ka_{mnm,n}

\end{bmatrixpmatrix}

La multiplicació per un escalar és anàloga a la [[Matriu (matemàtiques) # Suma | suma]] o [[resta]] de matrius, i compleix amb les mateixes característiques de la [[multiplicació|multiplicació aritmètica]]. En efecte, podem arribar al mateix resultat sumant '' k '' vegades la mateixa matriu original '' A '' amb sísi mateixa.

Siguin '' A '', '' B '' dues matrius i '' c '', '' d '' dos escalars, la multiplicació de matrius per escalars compleix amb les següents propietats:

| ''' Propietat '''

| ''' Descripció '''

| '' cA '' és també una matriu

| Existeix l'element neutre [[U_(nombre)|1]], de manera que '' 1 · ''A'' = ''A ''

| ('' (cd'') ''A'' = ''c'' (''dA) '')

| [[Propietat distributiva]] <br/> -
*D'escalar <br/> -
*De matriu

| <br/> '' c'' (''A'' + ''B'') = ''cA'' + ''cB '' <br/> ('' (c'' + ''d'') ''A'' = ''cA'' + ''dA ''

Donades dues matrius '' A '' i '' B '', per a poder multiplicar-les cal que el nombre de columnes de la matriu '' A '' sigui igual al nombre de files de la matriu '' B '', és a dir, que:

: <math> A: = (a_{iji,j}) _{m\times n}</math> i <math> B: = (b_{iji,j}) _{n\times p}</math>

AlehoresAleshores la multiplicació de '' A '' per '' B '', que s'expressa '' A · B '', ⋅'' A × B '', o simplement '' AB '', està definida com:

: <math> AB: = (c_{iji,j}) _{m\times p}</math>

on cada element '' c ''_{''i'', ''j ''} '' està definit per:

: <math> c_{iji,j}=\sum_{r = 1}^n a_{iri,r}b_{rjr,j}</math>

\begin{bmatrixpmatrix}

a_{111,1}& ...\cdots & A_a_{1n1,n}\\

...\vdots & ...\ddots & ...\vdots\\

a_{m1m,1}& ...\cdots & A_a_{mnm,n}

\end{bmatrixpmatrix}, B =

\begin{bmatrixpmatrix}

a_{111,1}b_{111,1}+...\ldots+ a_{1n1,n}b_{n1n,1}& ...\cdots & A_a_{111,1}b_{1p1,p}+...\ldots+ a_{1n1,n}b_{npn,p}\\

...\vdots & ...\ddots & ...\vdots\\

a_{m1m,1}b_{111,1}+...\ldots+ a_{mnm,n}b_{n1n,1}& ...\cdots & A_a_{m1m,1}b_{1p1,p}+...\ldots+ a_{mnm,n}b_{npn,p}

\end{bmatrixpmatrix}

Siguin '' A '', '' B '' i '' C '' matrius per a les quals la multiplicació entre elles està ben definida, és a dir, tals que els seus elements pertanyen a un [[cos (matemàtiques) | cos]] on la multiplicació està definida, i de manera que el nombre de files i de columnes permet realitzar la multiplicació, aleshores es compleixen les següents propietats:

| '' AB '' és també una matriu

| Si '' A '' és una [[matriu quadrada]] de mida '' m '', llavors la [[matriu identitat]] '' I Id''_{''m'' × ''m ''} '' és element neutre, de manera que ''Id''_{''m'' I× ''m''} · ''A'' = ''A'' · ''Id''_{''m'' × ''m''} = ''A''

| ('' (AB'') ''C'' = ''A'' (''BC) '')

| [[Propietat distributiva]] <br/> -
*Per la dreta <br/> -
*Per l'esquerra

| <br/> ('' (A'' + ''B'') ''C'' = ''AC'' + ''BC '' <br/> '' C'' (''A'' + ''B'') = ''CA'' + ''CB ''

El producte de dos matrius generalment no és commutatiu, és a dir, ''AB'' ≠ ''BA''. La divisió entre matrius, és a dir, l'operació que podria produir el quocient '' A''/''B'', no està definida. No obstant això, hi ha el concepte de [[matriu inversa]], només aplicable a les [[Matriu quadrada | matrius quadrades]].