Fórmula d'Heró: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m r2.6.3) (Robot afegeix: hr:Heronova formula |
Correccions ortogràfiques |
||
Línia 19:
La fórmula s'atribueix a [[Heró d'Alexandria]], i se'n pot trobar una demostració al seu llibre, ''Mètrica'', escrit el {{mida|1=A.D.}} 60. S'ha suggerit que [[Arquimedes]] coneixia la fórmula, i com que ''Mètrica'' és una col·lecció del coneixement matemàtic disponible al món antic, és possible que la fórmula fos prèvia a la referència donada en el llibre.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html Heron's Formula - from Wolfram MathWorld<!-- Bot generated title -->]</ref>
Una fórmula equivalent a la
:<math>A=\frac1{2}\sqrt{a^2 c^2 - \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2} \right)^2}</math>
Línia 27:
== Demostració ==
Tot seguit es presenta una demostració moderna, que fa servir [[àlgebra]] i [[trigonometria]] i és força diferent de la que va donar Heró.
:<math>\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}</math>
pel [[teorema del cosinus]]. A partir d'això aplicant la [[identitat trigonomètrica pitagòrica]] es té:
Línia 36:
|-
|<math> A\,</math>
|<math>= \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{
|-
|
Línia 61:
== Demostració fent servir el teorema de Pitàgores ==
[[Fitxer:Triangle with notations 3.svg|thumb|270px|Triangle amb altura ''h'' que talla la base ''c'' en ''d''+(''c''−''d'').]]
La demostració original d'Heró fa servir [[quadrilàter cíclic|quadrilàters cíclics]], mentre que altres enfocaments usen la [[trigonometria]] com el que s'ha fet servir abans, o al [[incentre]] i un cercle tangent a un costat i la prolongació dels altres dos[http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/heron/heron.txt]. La argumentació que segueix redueix la fórmula d'Heró directament al [[teorema de Pitàgores]] fent servir només
Expressant l'equació de la forma <math>4A^2= 4s \left( s-a \right) (s-b)(s-c)</math> (s'han multiplicat per dos i elevat al quadrat els dos cantons), La part esquerra de la fórmula d'Heró és
:<math> \left( ch \right)^2</math> (donat que la base per
substituint <math>h^2=b^2-d^2</math> pel [[teorema de Pitàgores]],
:<math> \left( cb \right)^2-(cd)^2</math>
Línia 82:
:<math> A = \frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}.</math>
El parèntesis de la fórmula
== Generalitzacions ==
Línia 89:
La fórmula d'Heró també és un cas particular de la fórmula de l'àrea d'un [[trapezoide]] basada només en la longitud dels seus costats. La fórmula d'Heró s'obté en el cas particular en què el costat paral·lel més petit té longitud zero.
En [[trigonometria esfèrica]], existeix una fórmula anàloga a la fórmula d'Heró que permet deduir l'àrea d'un triangle esfèric a partir dels seus costats: ve donada pel [[teorema de l'Hulier]]. La fórmula d'Heró és un cas particular del teorema de l'Hulier quan el radi de l'esfera tendeix a infinit (la
Si s'expressa la fórmula d'Heró com un [[Determinant (matemàtiques)|determinant]] en termes dels quadrats de les distàncies entre els tres vèrtex donats,
| |||