|
A l'entorn de la [[geometria diferencial]], les [[forma diferencial|formes diferencials]] a la [[varietat diferenciable]] que són [[derivada exterior|derivades exteriors]] es diuen ''' exactes ''', i les formes tals que les seves derivades exteriors són 0 es diuen ''' tancades ''' (vegeu [[formes diferencials tancades i exactes]]).
Les formes exactes són tancades, així que els [[espai vectorial|espais vectorials]] de '' k ''-formes juntament amb la derivada exterior són un [[cadena complexa|complex de cocadenas]]. Els [[espai vectorial|espais vectorials]] de les formes tancades mòdul les formes exactes es diuen els ''' grups de cohomologia de de Rham '''. L'El [[Producte exterior|producte falca]] dota la [[suma directa]] d'aquests grups amb una estructura de [[Anell (matemàtiques)|anell]].
LEl '''' teorema de de Rham ''', provat per [[Georges de Rham]] el [[1931]], estableix que per a una [[varietat]] diferenciable]] [[compacte|compacta]] [[orientable]] '' M '', aquests grups són isomorfs com espais vectorials reals amb els [[grup de cohomologia singular|grups de cohomologia singular]] '' H '' <sup> p </sup> ('' M ''; ''' R '''). A més, els dos anells de cohomologia són isomorfs (com [[anell graduat]]). El [[teorema de Stokes]] generalitzat és una expressió de la dualitat entre la cohomologia de de Rham i la [[Homologia (àlgebra) |homologia]] de [[cadena complexa|cadenes complexes]].
== Formes harmòniques ==
Per a la [[varietat diferenciable]] diferenciable '' M '', podemes pot equipar amb alguna [[mètrica de Riemann]] auxiliar. Llavors el [[laplacià]] Δ, definit per ▼
▲Per a la [[varietat]] diferenciable '' M '', podem equipar amb alguna [[mètrica de Riemann]] auxiliar. Llavors el [[laplacià]] Δ, definit per
: '' * d * d+d * d * ''
usant la [[derivada exterior]] i el [[dual de Hodge]] defineix un operador diferencial lineal homogeni (en graduació) que actua sobre el [[àlgebra exterior]] formada per les [[forma diferencial|formes diferencials]]: podem mirar la seva acció a cada component de grau '' p '' per separat.
Si '' M '' és compacte i [[orientat]], la [[dimensió]] del seu [[Nucli (matemàtiques) |nucli]] que actua sobre l'espai de [[forma diferencial|p-forma]]s és llavors igual (per la [[teoria de Hodge]]) a la del ''' grup de cohomologia de de Rham ''' de grau '' p '': el laplacià selecciona una manera '' harmònica '' única en cada classe de cohomologia de [[formes diferencials tancades i exactes|formes tancades]], en particular l'espai de tot les formes '' p-harmòniques '' a '' M '' és isomorf a '' H <sup> p </sup> '' ('' M ''; ''' R ''').
== Referències Bibliografia==
* Frank Warner, '' Foundations of differentiable manifolds and Lie groups '', Springer-Verlag, 1983
[[Categoria: Geometria diferencial]]
| 