Torsió (mecànica): diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m r2.6.4) (Robot afegeix: ko:비틀림 |
paràmetres d'equació |
||
Línia 28:
== Torsió de Saint-Venant pura ==
La teoria de la torsió de Saint-Venant és aplicable a peces prismàtiques de gran inèrcia torsional amb qualsevol forma de secció, en aquesta simplificació s'assumeix que l'anomenat moment de alabeig és nul, la qual cosa no vol dir que el [[alabeig seccional]] també ho sigui. La teoria de torsió de Saint-Venant dóna bones
#Seccions massisses de gran inèrcia torsinal (circulars o d'una altra manera).
Línia 37:
=== Torsió recta: Teoria de Coulomb ===
La teoria de Coulomb és aplicable a eixos de [[Transmissió mecànica|transmissió de potència]] massissos o buits, a causa de la simetria circular de la secció no poden existir Curvatura diferencials sobre la secció. D'acord amb la teoria de Coulomb la torsió genera una [[tensió tallant]] el qual es calcula mitjançant la fórmula:{{Equació|1=<math>\tau_\rho =\frac{T}{J}\rho </math >|
On:
: <math>\tau_\rho\; </math>: [[Esforç tallant]] a la distància <math>\rho </math>. </br>
Línia 66:
</br>
Usant les [[resistència de materials #Enfocament de la resistència de materials #Equacions d'equivalència|equacions d'equivalència]] s'arriba a la relació existent entre la funció α i el moment torsor:
{{Equació|1=<math> M_{tor}=\int_\Sigma (-\tau_{xy}z+\tau_{xz}y) dydz =\frac{\alpha'_x G}{2}\int_\Sigma (z^2+y^2) dydz\, =\frac{\alpha'_x G}{2}I_0 </math>|
On <math> I_0 = I_y+I_z\, </math>, és el moment d'inèrcia polar que és la suma dels [[segon moment d'àrea|segons moments d'àrea]].
Línia 79:
On <math>\theta_x (x)\; </math> és el gir relatiu de la secció (sent la seva derivada constant), sent '' z <sub> C </sub> '' i ''y<sub>C</sub>'' les coordenades del [[centre de tallant]] respecte al [[centre de gravetat]] de la secció transversal i sent ω ('' y, z '') la funció de [[alabeig unitari]] que dóna els desplaçaments perpendiculars a la secció i permeten conèixer la forma corbada final que tindrà la secció transversal. Convé assenyalar, que la teoria en postular que la derivada del gir és constant és només una aproximació útil per a peces de gran inèrcia torsional.
Calculant les components del [[tensor de deformacions]] a partir de les derivades del desplaçament s'ha de:
{{Equació|1=<math>\begin{matrix}
\varepsilon_{xx} = \cfrac{\part u_x}{\part x} = \omega\cfrac{d\theta_x}{dx} & &
\varepsilon_{xy} = \cfrac{1}{2}\left[\cfrac{\part u_x}{\part y} + \cfrac{\part u_y}{\part x}\right] = \cfrac{1}{2}\left[\cfrac{\part \omega}{\part y}-(z-z_C)\right]\cfrac{d\theta_x}{dx}\\
Línia 85:
\varepsilon_{xz} = \cfrac{1}{2}\left[\cfrac{\partial u_x}{\partial z} + \cfrac{\partial u_z}{\partial x}\right] = \cfrac{1}{2}\left[\cfrac{\part \omega}{\part y}+(y-y_C)\right]\cfrac{d\theta_x}{dx}\\
\varepsilon_{zz} = \cfrac{\partial u_z}{\partial z} = 0 & &
\varepsilon_{yz} = \cfrac{1}{2}\left[\cfrac{\part u_y}{\part z} + \cfrac{\part u_z}{\part y}\right]= 0 \end{matrix}</math>|
Calculant les tensions a partir de les anteriors deformacions i introduint-les en l'equació d'equilibri elàstic s'arriba a:
{{Equació|1=<math>\mathbf{T}_{tor}=\begin{bmatrix}
0 &\tau_{xy}&\tau_{xz}\\
\tau_{xy}& 0 & 0\\
\tau_{xz}& 0 & 0\end{bmatrix}</math>|
=== Analogia de la membrana de Prandtl ===
Línia 98:
=== Seccions tancades simples de paret prima ===
En aquest cas les tensions tangencials poden considerar aproximadament constants sobre una línia paral·lela al gruix de la peça, és a dir, perpendicular al contorn exterior de la peça. La tensió tangencial en aquest cas pot expressar-se mitjançant:
{{Equació|1=<math>\tau (s) =\frac{M_x}{2e (s) A_m}</math>|
On:
: <math> A_m\; </math>, és l'àrea tancada per la línia mitjana de la secció tubular.
: <math> e (s)\; </math>, és el gruix de la secció tubular al punt '' s '' de la corba del contorn.
Mentre que el gir:
{{Equació|1=<math>\theta =\frac{M_x}{J}=
\frac{M_x}{4A_m^2}\int_{L_\Gamma}\frac{ds}{e (s)}</math>|
En cas que el gruix sigui '' i '' ('' s '') = '' i '' <sub> 0 </sub> constant aquesta última equació es redueix a:
{{Equació|1=<math>\theta =\frac{L_\Gamma}{4e_0A_m^2}M_x </math>|
== Torsió bombada pura ==
Línia 114:
Per un rectangle molt allargat ('' b '' <<'' a '') la tensió tangencial màxima i el gir poden aproximar per:
{{Equació|1=<math>\tau_{max}= \frac{M_x}{\frac{1}{3}ab^2}\qquad
\theta =\frac{M_x}{G\left (\frac{1}{3}ab^3\right)}</math>|
Per un [[Perfil IPE|perfil I]] o [[Perfil HE|perfil H]] que pot ser aproximat unint rectangles de dimensions <math> (a_i, b_i) </math> (dues ales rectangualres allargades i una ànima rectangular allargada) les expressions anteriors es poden generalitzar a:
{{Equació|
1=<math>\tau_{i,max} \le \frac{M_x b_i}{\frac{1}{3}\sum_i a_ib_i^3} \qquad
\theta \le \frac{M_x}{G \left(\frac{1}{3}\sum_i a_ib_i^3 \right)}</math>
|
On τ '' <sub> i, màx </sub> '' és la tensió tangencial màxima sobre el rectangle '' i ''-èsim, '' b <sub> i </sub> '' és el gruix (ample) d'aquest rectangle i '' a <sub> i </sub> '' seu llarg.
== Torsió mixta ==
En el domini de torsió de Saint-Venant dominant i de torsió bombada dominant, poden emprar-se amb cert grau d'aproximació la teoria de Sant-Venant i la teoria de torsió bombada. No obstant això en el domini central de torsió extrema, es cometen errors importants i és necessari que useu la teoria general més complicada.
{{Equació|1=<math>
\mathbf{T}_{tor} = \begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
Línia 133:
\tau_{xy}=-\cfrac{1-\kappa_0}{\kappa_0}\left[\cfrac{\part \omega}{\part y}+z_C\right] \cfrac{M_\omega}{J}+\left[\cfrac{\part \omega}{\part y}-(z-z_C)\right] \cfrac{M_x-M_\omega}{J}\\
\tau_{xz}=-\cfrac{1-\kappa_0}{\kappa_0}\left[\cfrac{\part \omega}{\part y}-y_C\right] \cfrac{M_\omega}{J}+\left[\cfrac{\part \omega}{\part y}+(y-y_C)\right]\cfrac{M_x-M_\omega}{J} \end{cases}
</math>|
On les magnituds geomètriques <math> I_\omega, J\; </math> són respectivament el segon moment de alabeig i el [[mòdul de torsió]] i els "esforços" <math> B_\omega, M_\omega\; </math> es denominen bimoment i [[Curvatura seccional #Moment d'alabeig|moment d'alabeig]], tots ells definits per [[prisma mecànic|prismes mecànics]].
| |||