Segment circular: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Bot: Rv. edic. de 83.37.17.68 (disc) a vers. 9267196 de Luckas-bot (disc) |
|||
Línia 2:
Un '''segment circular '''o''' segment d'un cercle''' és en [[geometria]] la porció d'un [[cercle]] limitada per una [[corda (geometria)|corda]] i el [[Arc (geometria)|arc]] corresponent.
== Fórmules ==
[[fitxer: Circularsegment.svg|frame|right|Un segment circular (en verd) està comprès entre una assecant o corda (la línia discontínua) i l'arc els punts extrems són els de la corda.]]
Sigui R el [[radi]] del [[cercle]], θ l'[[angle]] central, c la [[longitud]] de la corda, s la longitud de l'arc, h l'[[Alt dimensional|alçada]] del segment circular, i d l'altura de la porció [[triangle|triangular]].
* El radi és <math> R = h+d \frac{}{}</math>
* La longitud de l'arc és <math>s = R \cdot \theta</math> on <math> \theta \, </math> està en [[radian]]s.
* La longitud de la corda és <math> c = 2R \sin \frac{\theta}{2}= R \sqrt{2-2 \cos \theta}</math>
* L'altura és <math> h = R (1 - \cos \frac{\theta}{2}) </math>
* L'angle és <math> \theta = 2 \arccos \frac{d}{R}</math>
=== Àrea ===
L'[[àrea]] del segment circular és igual a l'àrea del [[sector circular]] menys l'àrea de la porció triangular.
: <math> A = \pi R^2 \cdot \frac{\theta}{2 \pi}- \frac{R^2 \sin \theta}{2}= \frac{R^2}{2} \left (\theta - \sin \theta \right) </math>
; Demostració alternativa: L'àrea del [[sector circular]] és: <math> A = \pi R^2 \cdot \frac{\theta}{2 \pi}= \frac{R^2 \cdot \theta}{2}</math>
Si es [[Bisectriu|bisecciona]] l'angle <math>\theta</math>, i per tant la porció triangular, s'obtenen dos triangles amb àrea total:
: <math> R \sin \frac{\theta}{2}\cdot R \cos \frac{\theta}{2}= R^2 \sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}</math>
Atès que l'àrea del segment és l'àrea del sector menys l'àrea de la porció triangular, s'obtenen
<math> A = R^2 \left (\frac{\theta}{2}- \sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}\right) </math>
D'acord amb la identitat trigonomètrica d'angle doble <math> \sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta \, </math>, per tant:
<math>\sin\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \sin\theta</math>
amb el que resulta que l'àrea és:
<math> A = R^2 \left (\frac{\theta}{2}- \frac{1}{2}\sin \theta \right) = \frac{R^2}{2} \left ( \theta - \sin \theta \right) </math>
== Vegeu també ==
| |||