Revisió del 00:43, 18 juny 2012 modifica Vivarés (discussió \| contribucions) Autopatrullats 6.734 edits m if -> si; tipografia ← Edició anterior		Revisió del 00:50, 18 juny 2012 modifica desfés Vivarés (discussió \| contribucions) Autopatrullats 6.734 edits m enllaços rectificats Edició següent →
Línia 1: [[Fitxer:Integral-area-under-curve.svg\|thumb\|La integral d'una funció positiva es pot interpretar com l'àrea continguda entre la corba i l'eix x.]] En [[matemàtiques]], la ''[[integral]]'' d'una funció no negativa, en el cas més senzill es pot entendre com l'àrea entre el gràfic de la funció i l'eix ''x''. La '''integral de Lebesgue''' és una construcció matemàtica que estén la integral a una classe de funcions més gran; també estén els dominis sobre els quals es poden definir aquestes funcions. Durant molt de temps es va entendre que l'''àrea davall la corba'' de funcions no negatives amb un gràfic prou suau (com per exemple les funcions contínues en intervals tancats i fitats) es podia definir com la integral i es podia calcular emprant tècniques d'aproximació de la regió mitjançant polígons. Però, a mesura que va sorgir la necessitat de tenir en compte funcions més irregulars (per exemple, com a resultat de límits de successions de funcions en [[Anàlisi ~~Matemàtica~~matemàtica]] i en la [[Teoria matemàtica de la Probabilitat]]) es va fer clar que calien tècniques d'aproximació més curoses per a definir una integral adequada. La integral de Lebesgue juga un paper important en la branca de les matemàtiques anomenada [[Anàlisi ~~Real~~real]] i en molts altres camps de les ciències matemàtiques. La integral de Lebesgue rep el seu nom en honor de [[Henri Lebesgue]] ([[1875]]-[[1941]]). Línia 22: ===Teoria de la mesura === La [[teoria de la ~~Mesura~~mesura]] es va crear inicialment per subministrar una anàlisi detallada de la noció de longitud de subconjunts de la recta real i més en general de les nocions d'àrea i de volum de subconjunts d'espais euclidians. En particular, va subministrar una resposta sistemàtica a la pregunta de quins subconjunts de '''R''' tenen una longitud. Tal com es va veure en desenvolupaments posteriors de la [[teoria de conjunts]] (vegeu [[conjunt no mesurable]]), és de fet impossible assignar una longitud a tots els subconjunts de '''R''' de forma que es preservin algunes propietats naturals com l'additivitat i la invariància respecte de les translacions. Això suggereix que seleccionar dins d'una classe adequada de subconjunts ''mesurables'' és un prerequisit essencial. Per suposat, la integral de Riemann fa servir la noció de longitud de forma implícita. En efecte, l'element de càlcul de la integral de Riemann és el rectangle [''a'', ''b''] × [''c'', ''d''], l'àrea del qual es calcula com (''b''−''a'')(''d''−''c''). La quantitat ''b''−''a'' és la longitud de la base del rectangle i ''d''−''c'' és l'alçada del rectangle. En Riemann només podia fer servir rectangles plans per a aproximar l'àrea davall de la corba perquè no hi havia cap teoria adequada per a mesurar conjunts més generals. Línia 33: Com és usual es comença amb un espai amb una mesura, (''E'',''X'',μ). Aquí, ''E'' és precisament un [[conjunt]], ''X'' és una [[σ-àlgebra]] de subconjunts de ''E'' i μ és una [[mesura]] no negativa sobre ''X'' de subconjunts de ''E''. Per exemple, ''E'' pot ser l' [[espai euclidià]] de dimensió ''n'' '''R'''<sup>''n''</sup> o algun subconjunt seu [[mesura de Lebesgue\|Lebesgue mesurable]], ''X'' serà la σ-àlgebra de tots els subconjunts de ''E'' Lebesgue mesurables, i μ serà la [[mesura de Lebesgue]]. En la teoria matemàtica de la probabilitat μ serà una mesura de [[probabilitat]] sobre l'espai de probabilitat ''E''. En la teoria de Lebesgue, les integrals es limiten a una classe de funcions anomenades [[funció mesurable\|funcions mesurables]]. Una funció ''f'' és mesurable si l'antiimatge de de tot interval tancat pertany a ''X'': Línia 121: == Limitacions de la integral de Riemann == Aquí es discuteixen les limitacions de la integral de Riemann i l'abast més gran que ofereix la integral de Lebesgue. Es pressuposa un coneixement pràctic de la [[integral de ~~Riemannn~~Riemann]]. Amb l'adveniment de les [[sèries de Fourier]], varen parèixer molts problemes analítics que implicaven integrals, la solució satisfactòria dels quals requeria l'intercanvi en l'ordre de realització entre sumatoris infinits i signes d'integració. Ara bé, les condicions en les quals les integrals

Integral de Lebesgue: diferència entre les revisions