Programa d'Erlangen: diferència entre les revisions

 

L'article en si suposa una veritable fita en la història de la Geometria i de la Matemàtica en general.

 

==== El Programa d'Erlangen ====

 

Perquè un conjunt en què hi hagi una operació sigui un grup han de complir certes condicions, que són:

 

* L'operació ha de ser associativa: això vol dir que si prenem qualsevol tres elements <math> a, b, c </math> del conjunt, el resultat d'operar els dos primers (<math> a </math> i <math > b </math>) i operar el resultat d'això amb el tercer (<math> c </math>) deu ser el mateix que si primer operem el segon i el tercer (<math> b </math> i <math> c </math>) i el resultat el operem amb el primer (<math> a </math>). És a dir, si l'operació la denotem per <math> \star </math> ha de passar que <math> a \star (b \star c) </math> deu ser el mateix que <math> (a \star b) \star c </math>.

 

* Hi ha d'haver un element neutre: això vol dir que ha d'haver un element <math> i </math> del conjunt de manera que si prenc qualsevol altre element <math> a </math> del conjunt i el opero amb ell, llavors el resultat torna a ser l'element <math> a </math>, és a dir, és com si l'element <math> a </math> no ho hagués operat. Així, amb la nostra notació, <math> i \star a = a </math> i <math> a \star i = a </math>.

 

* Finalment, cada element ha de tenir un element simètric: això vol dir que si jo prenc un element qualsevol <math> a </math> del conjunt, llavors puc trobar un altre element <math> \ hat {a} </math> del conjunt de tal manera que en operar tots dos, el resultat que obtinc és l'element neutre: <math> a \star\hat {a} =\hat {a}\star a = i </math>.

 

El concepte de grup no és invenció de Klein, però és ell el que descobreix un fet fonamental que el relaciona amb les diferents geometries: cada geometria és l'estudi de certes propietats que no canvien quan se li apliquen un tipus de transformacions. Aquestes propietats, per no canviar, les denomina [[invariants]], i les transformacions que a un invariant no li fan canviar han de tenir estructura de grup sota l'operació de composició (compondre dues transformacions és fer una i aplicar-li l'altra transformació al resultat de la primera).