En matemàtiques , la reducció d'ordre és una tècnica utilitzada per resoldre equacions diferencials ordinàries de segon ordre. Es fa servir quan la primera de dues solucions (
y
1
{\displaystyle y_{1}}
y
2
{\displaystyle y_{2}}
Donada una equació diferencial
y
″
+
p
(
t
)
y
′
+
q
(
t
)
y
=
0
{\displaystyle y''+p(t)y'+q(t)y=0\,}
i una sola solució (
y
1
(
t
)
{\displaystyle y_{1}(t)}
y
2
=
v
(
t
)
y
1
(
t
)
{\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,}
on
v
(
t
)
{\displaystyle v(t)}
funció arbitrària. Així,
y
2
′
=
v
′
(
t
)
y
1
(
t
)
+
v
(
t
)
y
1
′
(
t
)
{\displaystyle y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)\,}
i
y
2
″
=
v
″
(
t
)
y
1
(
t
)
+
2
v
′
(
t
)
y
1
′
(
t
)
+
v
(
t
)
y
1
″
(
t
)
.
{\displaystyle y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).\,}
Si se substitueixen per
y
{\displaystyle y}
y
′
{\displaystyle y'}
y
″
{\displaystyle y''}
y
1
(
t
)
v
″
+
(
2
y
1
′
(
t
)
+
p
(
t
)
y
1
(
t
)
)
v
′
+
(
y
1
″
(
t
)
+
p
(
t
)
y
1
′
(
t
)
+
q
(
t
)
y
1
(
t
)
)
v
=
0.
{\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=0.}
Com que
y
1
(
t
)
{\displaystyle y_{1}(t)}
y
1
″
(
t
)
+
p
(
t
)
y
1
′
(
t
)
+
q
(
t
)
y
1
(
t
)
=
0
{\displaystyle y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0}
y
1
(
t
)
v
″
+
(
2
y
1
′
(
t
)
+
p
(
t
)
y
1
(
t
)
)
v
′
=
0
{\displaystyle y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=0}
que és una equació diferencial de primer ordre per
v
′
(
t
)
{\displaystyle v'(t)}
y
1
(
t
)
{\displaystyle y_{1}(t)}
v
″
+
(
2
y
1
′
(
t
)
y
1
(
t
)
+
p
(
t
)
)
v
′
=
0
{\displaystyle v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'=0}
i
v
′
(
t
)
{\displaystyle v'(t)}
mètode general . Un cop s'ha trobat
v
′
(
t
)
{\displaystyle v'(t)}
y
2
{\displaystyle y_{2}}
y
2
=
v
(
t
)
y
1
(
t
)
.
{\displaystyle y_{2}=v(t)y_{1}(t).\,}
