Estadística de Fermi-Dirac

En estadística de partícules, l'estadística Fermi-Dirac (o més col·loquialment estadística F-D) determina la distribució estadística d'un conjunt de fermions indistingibles en equilibri tèrmic sobre un conjunt d'estats d'energia.

Distribució de Fermi-Dirac en funció de $\varepsilon /\mu$ per quatre temperatures diferents. Les corbes més suaus corresponen a les temperatures més altes.

Els fermions estan subjectes al principi d'exclusió de Pauli: un determinat estat quàntic pot estar ocupat per no més d'un fermió en cada instant de temps. Matemàticament, això s'expressa dient que el nombre mitjà de fermions en un estat i $n_{i}$ ve determinat per l'expressió

$n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}$

on $\varepsilon _{i}\geq \mu$ i:

$g_{i}$ és la degeneració de l'estat i

$\varepsilon _{i}$ és l'energia de l'estat i

$\mu$ és el potencial químic del sistema

$k_{B}$ és la constant de Boltzmann

$T$ és la temperatura absoluta

Aquesta expressió es redueix a la corresponent a l'estadística de Maxwell-Boltzmann per a energies grans ($\varepsilon _{i}-\mu \gg k_{B}T$).

A baixes temperatures $T$, un sistema de $N$ fermions tendirà a omplir els $N$ estats de menor energia. A $T=0$, parlem de mar de Fermi per referir-nos al conjunt de nivells energètics ocupats. El(s) darrer(s) estats ocupats tindran una energia $E_{F}$ que s'anomena 'energia de Fermi'. Anàlogament, anomenem superfície de Fermi el conjunt d'estats l'energia dels quals és igual a $E_{F}$. Per exemple, en el cas d'un sistema homogeni de fermions no interaccionants, a $T=0$ els estats ocupats són els estats amb moment ${\vec {p}}$ tal que $p=|{\vec {p}}|\leq p_{F}$, on $p_{F}$ és el moment de Fermi, i $E_{F}=\hbar ^{2}p_{F}^{2}/(2m)$, essent $m$ la massa dels fermions.

L'estadísitca de Fermi-Dirac va ser introduïda el 1926 per Enrico Fermi, i posteriorment redescoberta independentment per P. A. M. Dirac, per comprendre com els electrons ocupaven els estats energètics atòmics d'acord amb la nova teoria quàntica. A partir d'aquests treballs va ser possible comprendre des d'un punt de vista fonamental l'estructura de la taula periòdica dels elements.

Vegeu també

• Estadística de Bose-Einstein
• Estadística de Maxwell-Boltzmann
• Bosó
• Fermió