Factorització de rang

Donada una matriu $A$ de dimensió $m\times n$ amb rang $r$, una descomposició de rang o factorització de rang de $A$ és un producte $A=CF$, on $C$ és una matriu $m\times r$ i $F$ és una matriu $r\times n$.

Tota matriu de dimensió finita té una factorització de rang: Sigui $A$ una matriu $m\times n$ amb rang per columnes $r$. Per definició, existeixen $r$ columnes linealment independents d'$A$; de forma equivalent, la dimensió de l'espai de columnes d'$A$ és $r$. Sigui $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}$ una base qualsevol de l'espai de columnes d'$A$, i col·loquem-la com a vectors columna, per formar la matriu $C=[c_{1}:c_{2}:\ldots :c_{r}]$, de dimensió $m\times r$. Així, qualsevol vector columna d'$A$ és una combinació lineal de les columnes de $C$. De forma més precisa, si $A=[a_{1}:a_{2}:\ldots :a_{n}]$ és una matriu de dimensió $m\times n$, on $a_{j}$ representa la columna $j$-sima, llavors

$a_{j}=f_{1j}c_{1}+f_{2j}c_{2}+\cdots +f_{rj}c_{r},$

on $f_{ij}$ són els coeficients escalars de $a_{j}$ en termes de la base $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{r}$. Això implica que $A=CF$, on $f_{ij}$ és l'element $(i,j)$-sim de $F$.

rang(A) = rang (A^T)

Una conseqüència immediata de la factorització de rang és que el rang d'$A$ és igual al rang de la seva transposada $A^{\text{T}}$. Com que les columnes d'$A$ són les files d'$A^{\text{T}}$, llavors el rang per columnes d'$A$ és igual al seu rang per files.

Demostració

En aquesta demostració, direm «rang» per referir-nos al rang per columnes. Com que $A=CF$, es compleix que $A^{\text{T}}=F^{\text{T}}C^{\text{T}}$. Per definició de la multiplicació de matrius, això vol dir que tota columna d'$A^{\text{T}}$ és una combinació lineal de columnes de $F^{\text{T}}$. Per tant, l'espai de columnes d'$A^{\text{T}}$ està contingut en l'espai de columnes de $F^{\text{T}}$ i, en conseqüència, rang($A^{\text{T}}$) ≤ rang($F^{\text{T}}$). Ara bé, $F^{\text{T}}$ té dimensió $n$×$r$, de manera que existeixen $r$ columnes de $F^{\text{T}}$ i, per tant, rang($A^{\text{T}}$) ≤ $r$ = rang($A$). Això demostra que rang($A^{\text{T}})$ ≤ rang($A$). Ara apliquem el resultat a $A^{\text{T}}$ per obtenir la desigualtat recíproca: com que $(A^{\text{T}})^{\text{T}}$ = $A$, podem escriure rang($A$) = rang($(A^{\text{T}})^{\text{T}})$ ≤ rang($A^{\text{T}}$). Això demostra que rang($A)$ ≤ rang($A^{\text{T}}$). En resum, hem demostrat que rang($A^{\text{T}})$ ≤ rang($A$) i que rang($A$) ≤ rang($A^{\text{T}}$); per tant, rang($A$) = rang($A^{\text{T}}$). (Vegeu també la primera demostració de què el rang per columnes és igual al rang per files, a l'article Rang (àlgebra lineal).)

Factorització de rang per matrius esglaonades per files

A la pràctica, podem construir una factorització de rang de la següent manera: podem calcular $B$, la forma esglaonada per files d'$A$. Llavors obtenim $C$ per l'eliminació de les columnes no-pivot d'$A$, i obtenim $F$ per l'eliminació de les files a 0 de $B$.

Exemple

Considerem la matriu

$A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}=B{\text{.}}$

$B$ està en forma esglaonada. Llavors obtenim $C$ tot eliminant la tercera columna d'$A$, l'única que no és una columna pivot, i obtenim $F$ tot eliminant l'última fila de zeros; és a dir:

$C={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\text{,}}\qquad F={\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\text{.}}$

És senzill comprovar que

$A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&4\\2&7&9\\1&5&1\\1&2&8\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=CF{\text{.}}$

Demostració

Sigui $P$ una matriu de permutació de dimensió $n\times n$ tal que $AP=(C,D)$ en forma particionada per blocs, on les columnes de $C$ són les $r$ columnes pivot d'$A$. Tota columna de $D$ és una combinació lineal de les columnes de $C$, de tal manera que existeix una matriu $G$ tal que $D=CG$, on les columnes de $G$ contenen els coeficients d'aquestes combinacions lineals. Per tant, $AP=(C,CG)=C(I_{r},G)$, on $I_{r}$ és la matriu identitat $r\times r$. Ara veurem que $(I_{r},G)=FP$.

La transformació de $AP$ en la seva forma esglaonada per files és equivalent a multiplicar per l'esquerra per una matriu $E$ que és producte de matrius elementals, de tal forma que $EAP=BP=EC(I_{r},G)$, on $EC={\begin{pmatrix}I_{r}\\0\end{pmatrix}}$. Ara podem escriure $BP={\begin{pmatrix}I_{r}&G\\0&0\end{pmatrix}}$, la qual cosa ens permet identificar que $(I_{r},G)=FP$, és a dir, les $r$ files no-nul·les de la forma esglaonada, amb la mateixa permutació de columnes que havíem obtingut per $A$. Així tenim que $AP=CFP$, i com que $P$ és invertible, això implica que $A=CF$, cosa que completa la demostració.

Bibliografia

• Lay, David C. Linear algebra and its applications (en anglès). 3rd ed.. Boston; Montréal: Addison-Wesley, 2003. ISBN 978-0-201-70970-4. 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. Matrix computations (en anglès). 3. ed.. Baltimore, Md. [u.a.]: Johns Hopkins Univ. Press, 1996. ISBN 978-0-8018-5414-9. 
• Stewart, Gilbert W. Matrix Algorithms I. Basic decompositions (en anglès). Philadelphia: Soc. for Industrial and Applied Mathematics, 1998. ISBN 978-0-89871-414-2.