Flux de Hagen-Poiseuille a partir de les equacions de Navier-Stokes

En dinàmica de fluids, la derivació del flux de Hagen-Poiseuille a partir de les equacions de Navier-Stokes mostra com aquest flux és una solució exacta de les equacions de Navier-Stokes.

Representació del flux de Poiseuille

Derivació

El flux laminar a través d'un conducte de secció uniforme (circular) es coneix com a flux de Hagen-Poiseuille. Les equacions que governen aquest flux es poden derivar directament de les equacions de moment de Navier-Stokes en coordenades cilíndriques (3D) a través de les següents suposicions.

1. El flux és no estacionari ($\partial (...)/\partial t=0$).
2. Les components radial i azimutal de la velocitat del fluid són zero ($u_{r}=u_{\theta }=0$).
3. El flux és axisimètric ($\partial (...)/\partial \theta =0$) i desenvolupat del tot ($\partial u_{z}/\partial z=0$).

Llavors l'equació angular de l'equació de continuïtat es satisfan idènticament. La primera equació de moment es redueix a $\partial p/\partial r=0$. La pressió $p$és funció de la coordenada de l'eix $z$. La tercera equació del moment es redueix a:

${\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)={\frac {1}{\mu }}{\frac {\partial p}{\partial z}}\quad$ on $\mu$ és la viscositat dinàmica del fluid.

La solució és

$u_{z}={\frac {1}{4\mu }}{\frac {\partial p}{\partial z}}r^{2}+c_{1}\ln r+c_{2}$

Com que $u_{z}$ ha de ser finit a $r=0$, $c_{1}=0$. La condició de contorn de no lliscament a la paret del conducte requereix que $u_{z}=0$ a $r=R$ (radi del tub), que porta a:

$c_{2}=-{\frac {1}{4\mu }}{\frac {\partial p}{\partial z}}R^{2}.$

Llavors es té finalment el següent perfil de velocitat parabòlica:

$u_{z}=-{\frac {1}{4\mu }}{\frac {\partial p}{\partial z}}(R^{2}-r^{2}).$

La velocitat màxima es dona al centre del tub ($r=0$):

${u_{z}}_{max}={\frac {R^{2}}{4\mu }}\left(-{\frac {\partial p}{\partial z}}\right).$

La velocitat mitjana es pot obtenir integrant respecte $r$ la velocitat a través de la secció:

${u_{z}}_{\mathrm {avg} }={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}u_{z}\cdot 2\pi rdr=0.5{u_{z}}_{\mathrm {max} }.$

L'equació de Hagen-Poiseuille relaciona el gradient de pressió $\Delta p$ a través del conducte circular de llargària $L$ amb la velocitat mitjana al conducte ${u_{z}}_{\mathrm {avg} }$ i altres paràmetres. Assumint que la pressió decreix linealment a través de la llargària del tub, es téː

$-{\frac {\partial p}{\partial z}}={\frac {\Delta p}{L}}$ (constant). Substituint això i l'expressió per ${u_{z}}_{\mathrm {max} }$ a l'expressió per ${u_{z}}_{\mathrm {avg} }$, i tenint en compte que el diàmetre del conducte és $D=2R$, es téː

${u_{z}}_{avg}={\frac {D^{2}}{32\mu }}{\frac {\Delta p}{L}}.$

Reagrupant això s'obté l'equació de Hagen-Poiseuilleː

$\Delta p={\frac {32\mu L~{u_{z}}_{\mathrm {avg} }}{D^{2}}}.$

Vegeu també

• Llei de Poiseuille
• Flux de Couette̟