Forma indeterminada

En matemàtiques, s'anomena forma indeterminada a cadascuna de les expressions algebraiques següents que s'obtenen en el càlcul de límits:

Dues funcions que presenten la mateixa indeterminació poden tenir límits distints. Els mètodes freqüents per evitar les indeterminacions són la regla de L'Hôpital, el teorema del sandvitx i l'aplicació de logaritmes.

ExempleModifica

La indeterminació apareix als següents límits:

Però, aplicant la Regla de L'Hôpital, els límits d'aquestes funcions són distints:[1]

Indeterminació Modifica

Existeix una fórmula per evitar la indeterminació  . Siguin   i   dues funcions amb límits   i   quan   (sent  ), aleshores

 

En aquest cas,

 

Per exemple,

 

Aplicant la fórmula,

 

Indeterminació Modifica

  • Comparació de funcions: en els quocients de funcions que tendeixen a infinit, es pot predir el resultat del límit comparant el creixement de les funcions (en realitat, el que es compara és el grau dels infinits).[2] Per exemple,

 

Com que la funció exponencial creix més ràpid que un monomi, l'infinit del denominador és major, per la qual cosa el límit és 0:

 

Si és major el creixement del numerador, el límit és infinit, per exemple:

 

  • Quocient de polinomis: quan  , apareix la indeterminació   en el límit dels quocients de polinomis. Es pot predir el límit comparant els graus dels polinomis: Siguin   i   dos polinomis amb graus   i  , respectivament, aleshores:[3]

 

sent   i   els coeficients principals del polinomis   i  , respectivament.

En el tercer cas,  , el signe de l'infinit és  .

En el cas  , es procedeix de manera semblant.

Indeterminació Modifica

Aquesta indeterminació es pot evitar, normalment, operant al límit. Per exemple,

 

Però,

 

Indeterminació Modifica

Aquesta indeterminació es sol evitar aplicant les propietats dels logaritmes.[2]

Per exemple,

 

Taula de formes indeterminadesModifica

La següent taula conté les formes indeterminades i les transformacions necessàries per poder aplicar la regla de L'Hôpital.

Forma indeterminada Condicions Transformació a 0/0 Transformació a ∞/∞
   
 
     
       
       
       
       
       

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. Llopis, José L. «Indeterminación o forma indeterminada» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 14 juny 2019].
  2. 2,0 2,1 «Cálculo de límites» (en castellà). PyE. [Consulta: 14 juny 2019].
  3. Llopis, José L. «Indeterminación infinito partido infinito» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 14 juny 2019].