Forma quadràtica

Una forma quadràtica (real) és un polinomi homogeni de grau dos que involucra $n$ variables $x_{1},\dots ,x_{n}$ :

$Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A_{i\,j}\,x_{i}\,x_{j},$

on $A_{ij}\in \mathbb {R} ,\ i,j=1,\dots n$.
Les formes quadràtiques d'una, dues i tres variables són:

$Q(x)=ax^{2},$

$Q(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy,$

$Q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz.$

Per exemple, la distància entre dos punts en l'espai euclidià es troba amb l'arrel quadrada d'una forma quadràtica que conté sis variables: les tres coordenades espacials dels dos punts:

$d^{2}(p,q)=(x_{p}-x_{q})^{2}+(y_{p}-y_{q})^{2}+(z_{p}-z_{q})^{2}=x_{p}^{2}+x_{q}^{2}-2x_{p}x_{q}+y_{p}^{2}+y_{q}^{2}-2y_{p}y_{q}+z_{p}^{2}+z_{q}^{2}-2z_{p}z_{q}.$

Notació matricial. Seguint els convenis de l'Àlgebra lineal, escriurem els vectors en columna: ${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})^{\rm {T}}$, on ${\boldsymbol {V}}^{\rm {T}}$ és la transposada de la matriu o del vector ${\boldsymbol {V}}$. Considerem la matriu

$${\boldsymbol {A}}={\big (}A_{ij}{\big )}_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,n}.$$

Aleshores, la forma quadràtica s'escriu

$$Q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}.$$

Definim la matriu

$${\boldsymbol {B}}={\Big (}(A_{ij}+A_{ji})/2{\Big )}_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,n}={\frac {1}{2}}{\big (}A+A^{\rm {T}}),$$

Aquesta matriu és simètrica i es compleix que

$$Q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {x}}.$$

Per tant, sense pèrdua de generalitat, en moltes situacions es pot suposar que la matriu associada a una forma quadràtica (real) és simètrica.
Situacions més generals. Per veure la definició de formes quadràtiques en situacions més generals, vegeu, per exemple, Queysanne, cap. 15.

Referències

Queysanne, Michel. Álgebra básica. Barcelona: Vicens-Vives, 1971. ISBN 84-316-1360-2.