Una forma quadràtica (real) és un polinomi homogeni de grau dos que involucra
n
{\displaystyle n}
variables
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
:
Q
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
A
i
j
x
i
x
j
,
{\displaystyle Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}A_{i\,j}\,x_{i}\,x_{j},}
on
A
i
j
∈
R
,
i
,
j
=
1
,
…
n
{\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {R} ,\ i,j=1,\dots n}
.
Les formes quadràtiques d'una, dues i tres variables són:
Q
(
x
)
=
a
x
2
,
{\displaystyle Q(x)=ax^{2},}
Q
(
x
,
y
)
=
a
x
2
+
b
y
2
+
c
x
y
,
{\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy,}
Q
(
x
,
y
,
z
)
=
a
x
2
+
b
y
2
+
c
z
2
+
d
x
y
+
e
x
z
+
f
y
z
.
{\displaystyle Q(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz.}
Per exemple, la distància entre dos punts en l'espai euclidià es troba amb l'arrel quadrada d'una forma quadràtica que conté sis variables: les tres coordenades espacials dels dos punts:
d
2
(
p
,
q
)
=
(
x
p
−
x
q
)
2
+
(
y
p
−
y
q
)
2
+
(
z
p
−
z
q
)
2
=
x
p
2
+
x
q
2
−
2
x
p
x
q
+
y
p
2
+
y
q
2
−
2
y
p
y
q
+
z
p
2
+
z
q
2
−
2
z
p
z
q
.
{\displaystyle d^{2}(p,q)=(x_{p}-x_{q})^{2}+(y_{p}-y_{q})^{2}+(z_{p}-z_{q})^{2}=x_{p}^{2}+x_{q}^{2}-2x_{p}x_{q}+y_{p}^{2}+y_{q}^{2}-2y_{p}y_{q}+z_{p}^{2}+z_{q}^{2}-2z_{p}z_{q}.}
Seguint els convenis de l'Àlgebra lineal , escriurem els vectors en columna:
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
T
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})^{\rm {T}}}
, on
V
T
{\displaystyle {\boldsymbol {V}}^{\rm {T}}}
és la transposada de la matriu o del vector
V
{\displaystyle {\boldsymbol {V}}}
. Considerem la matriu
A
=
(
A
i
j
)
i
=
1
,
…
,
n
j
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\big (}A_{ij}{\big )}_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,n}.}
Aleshores, la forma quadràtica s'escriu
Q
(
x
)
=
x
T
A
x
.
{\displaystyle Q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}.}
Definim la matriu
B
=
(
(
A
i
j
+
A
j
i
)
/
2
)
i
=
1
,
…
,
n
j
=
1
,
…
,
n
=
1
2
(
A
+
A
T
)
,
{\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\Big (}(A_{ij}+A_{ji})/2{\Big )}_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,n}={\frac {1}{2}}{\big (}A+A^{\rm {T}}),}
Aquesta matriu és simètrica i es compleix que
Q
(
x
)
=
x
T
B
x
.
{\displaystyle Q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}^{\rm {T}}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {x}}.}
Per tant, sense pèrdua de generalitat, en moltes situacions es pot suposar que la matriu associada a una forma quadràtica (real) és simètrica.
Per veure la definició de formes quadràtiques en situacions més generals, vegeu, per exemple Queysanne (1971 :cap. 15).