Freqüència negativa

En matemàtiques, el concepte de freqüència amb signe (freqüència negativa i positiva) pot indicar tant la velocitat com el sentit de rotació; pot ser tan senzill com una roda girant en sentit horari o antihorari. La velocitat s'expressa en unitats com ara revolucions (també conegut com cicles) per segon (hertz) o radians/segon (on 1 cicle correspon a 2 π radians).

El vector que gira en sentit contrari a les agulles del rellotge (cos t, sin t) té una freqüència positiva de +1 radian per unitat de temps. No es mostra un vector girant en el sentit de les agulles del rellotge (cos −t, sin −t) que té una freqüència negativa de -1 radian per unitat de temps. Tots dos van al voltant del cercle unitari cada 2π unitats de temps, però en direccions oposades.

Exemple: matemàticament parlant, el vector $(\cos(t),\sin(t))$ té una freqüència positiva de +1 radian per unitat de temps i gira en sentit contrari a les agulles del rellotge al voltant del cercle unitari, mentre que el vector $(\cos(-t),\sin(-t))$ té una freqüència negativa de -1 radian per unitat de temps, que gira en el sentit de les agulles del rellotge.

Sinusoides

Una freqüència negativa fa que la funció sin (violeta) lideri el cos (vermell) en 1/4 de cicle.

Sigui ω > 0 una freqüència angular amb unitats de radians/segon. Aleshores la funció f(t) = −ωt + θ té pendent −ω, que s'anomena freqüència negativa. Però quan la funció s'utilitza com a argument d'un operador cosinus, el resultat no es pot distingir de cos(ωt − θ). De la mateixa manera, sin(−ωt + θ) no es pot distingir de sin(ωt − θ + π). Així, qualsevol sinusoide es pot representar en termes de freqüència positiva. El signe del pendent de fase subjacent és ambigu.

L'ambigüitat es resol quan els operadors cosinus i sinus es poden observar simultàniament, perquè cos(ωt + θ) porta sin(ωt + θ) per¹⁄₄ cicle (és a dir^π⁄₂ radians) quan ω > 0, i es retarda¹⁄₄ cicle quan ω < 0. De la mateixa manera, un vector, (cos ωt, sin ωt), gira en sentit contrari a les agulles del rellotge si ω > 0, i en sentit horari si ω < 0. Per tant, el signe de $\omega$ també es conserva a la funció de valors complexos:

$e^{i\omega t}=\underbrace {\cos(\omega t)} _{R(t)}+i\cdot \underbrace {\sin(\omega t)} _{I(t)},$ (Eq.1 )

el corol·lari del qual és:

$\cos(\omega t)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\left(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\right).$ (Eq.2 )

$z=re^{i\phi }=x+iy\,\!$

A Eq.1 el segon terme és un afegit a $\cos(\omega t)$ que resol l'ambigüitat. A Eq.2 el segon terme sembla una addició, però en realitat és una cancel·lació que redueix un vector bidimensional a una sola dimensió, donant lloc a l'ambigüitat. Eq.2 també mostra per què la transformada de Fourier té respostes a totes dues $\pm \omega ,$ encara que $\omega$ només pot tenir un signe. El que fa la resposta falsa és permetre que la transformada inversa distingeixi entre una funció de valor real i una de complexa.

Aplicacions

Simplificació de la transformada de Fourier

Potser l'aplicació més coneguda de la freqüència negativa és la fórmula:

${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt,$

que és una mesura de l'energia en funció $f(t)$ a la freqüència $\omega .$ Quan s'avalua per a un continu d'arguments $\omega ,$ el resultat s'anomena transformada de Fourier.

Mostreig de freqüències positives i negatives i aliasing

Aquesta figura representa dos sinusoides complexos, de color or i cian, que s'ajusten als mateixos conjunts de punts de mostra reals i imaginaris. Per tant, són àlies entre si quan es mostren a la velocitat (f _s ) indicada per les línies de la quadrícula. La funció de color daurat representa una freqüència positiva, perquè la seva part real (la funció cos) lidera la seva part imaginària en 1/4 d'un cicle. La funció cian representa una freqüència negativa, perquè la seva part real queda endarrerida amb la part imaginària.

Referències