Funció de Struve

En matemàtiques, les funcions de Struve, denotat com H_α(x), són solucions y(x) de l'equació diferencial no homogènia de Bessel:

Gràfica de $\mathrm {H} _{n}(x)$ per a $n\in [0,1,2,3,4,5]$

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y={\frac {4\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha +1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}$

presentat per Hermann Struve (1882). El nombre complex α és l'ordre de la funció Struve i és sovint un enter. Les funcions de Struve modificades, denotades com L_α(x), són iguals a −ie^{−iαπ / 2}H_α(ix).

Definició

Atès que es tracta d'una equació no homogènia, les solucions es poden construir a partir d'una única solució particular afegint les solucions del problema homogeni. En aquest cas, les solucions homogènies són les funcions de Bessel, i la solució particular es pot triar com la funció Struve corresponent.

Desenvolupament en sèries de potències

Les funcions de Struve, denotades com H_α(z), tenen la forma en sèrie de potències

$\mathbf {H} _{\alpha }(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{\Gamma \left(m+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(m+\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2m+\alpha +1},$

on Γ(z) és la funció gamma.

Les funcions de Struve modificades, denotades com L_ν(z), tenen la següent forma en de sèrie de potències

$\mathbf {L} _{\nu }(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu +1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {3}{2}}+k\right)\Gamma \left({\frac {3}{2}}+k+\nu \right)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k}.$

Forma integral

Una altra definició de la funció Struve, per als valors de α satisfent Re(α) > − 1/2, és possible utilitzant una representació integral:

$\mathbf {H} _{\alpha }(x)={\frac {2\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(x\cos \tau )\sin ^{2\alpha }(\tau )\,d\tau .$

Altres formes

Per a x petit, el desenvolupament en sèries de potències es dona en l'apartat anterior.

Per a x grans, s'obté:

$\mathbf {H} _{\alpha }(x)-Y_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha -1}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}}+O\left(\left({\tfrac {x}{2}}\right)^{\alpha -3}\right),$

on Y_α(x) és la funció de Neumann.

Propietats

Les funcions de Struve satisfan les següents relacions de recurrència:

${\begin{aligned}\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)+\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}\mathbf {H} _{\alpha }(x)+{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}},\\\mathbf {H} _{\alpha -1}(x)-\mathbf {H} _{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}\left(\mathbf {H} _{\alpha }(x)\right)-{\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\frac {3}{2}}\right)}}.\end{aligned}}$

Relació amb altres funcions

Les funcions de Struve de l'ordre enter es poden expressar en funció de les funcions de Weber E_n i viceversa; si n és un enter no-negatiu llavors

${\begin{aligned}\mathbf {E} _{n}(z)&={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {\Gamma \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {z}{2}}\right)^{n-2k-1}}{\Gamma \left(n-k+{\frac {1}{2}}\right)}}-\mathbf {H} _{n}(z),\\\mathbf {E} _{-n}(z)&={\frac {(-1)^{n+1}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\frac {\Gamma (n-k-{\frac {1}{2}})\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n+2k+1}}{\Gamma \left(k+{\frac {3}{2}}\right)}}-\mathbf {H} _{-n}(z).\end{aligned}}$

Funcions de Struve d'ordre n + 1/2, on n és un enter, es pot expressar en termes de funcions elementals. En particular, si n és un enter no-negatiu, llavors

$\mathbf {H} _{-n-{\frac {1}{2}}}(z)=(-1)^{n}J_{n+{\frac {1}{2}}}(z),$

on el costat dret és una funció esfèrica de Bessel.

Les funcions de Struve (de qualsevol ordre) es poden expressar en termes de la funció hipergeomètrica generalitzada ₁F₂ (que no és la funció hipergeomètrica de Gauss ₂F₁):

$\mathbf {H} _{\alpha }(z)={\frac {z^{\alpha +1}}{2^{\alpha }{\sqrt {\pi }}\Gamma \left(\alpha +{\tfrac {3}{2}}\right)}}{}_{1}F_{2}\left(1,{\tfrac {3}{2}},\alpha +{\tfrac {3}{2}},-{\tfrac {z^{2}}{4}}\right).$

Referències

• Aarts, R. M.; Janssen, Augustus J. E. M. «Approximation of the Struve function H₁ occurring in impedance calculations» (en anglès). J. Acoust. Soc. Am., 113, 5, 2003, pàg. 2635–2637. Bibcode: 2003ASAJ..113.2635A. DOI: 10.1121/1.1564019. PMID: 12765381.
• Aarts, R. M.; Janssen, Augustus J. E. M. «Efficient approximation of the Struve functions H_n occurring in the calculation of sound radiation quantities» (en anglès). J. Acoust. Soc. Am., 6, 2016, pàg. 4154–4160. Bibcode: 2016ASAJ..140.4154A. DOI: 10.1121/1.4968792. PMID: 28040027.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [juny 1964]. Chapter 12. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (desembre 1972); 1a ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 496. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Ivanov, A. B. (2001) [1994], S/s090700, en Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Paris, R. B. (2010), Struve function, en Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248
• Struve, H. «Beitrag zur Theorie der Diffraction an Fernröhren» (en alemany). Annalen der Physik und Chemie, 17.13, 1882, pàg. 1008–1016. Bibcode: 1882AnP...253.1008S. DOI: 10.1002/andp.18822531319.

Vegeu també

• Funció d'Anger
• Funció de Lommel

Enllaços externs

• Struve functions a the Wolfram functions site (anglès).