Funció ksi de Riemann

En matemàtiques, la funció ksi de Riemann és una variant de la funció zeta de Riemann, i té la particularitat de tenir una equació funcional simple. La funció duu el nom del matemàtic alemany Bernhard Riemann.

Funció ksi de Riemann $\xi (s)$ en el pla complex. El color d'un punt $s$ mostra el valor de la funció. Els colors més foscos denoten els valors més propers a zero i la tonalitat indica el valor de l'argument.

Definició

La funció ksi minúscula de Riemann original $\xi$ va ser reanomenada com a majúscula $~\Xi ~$ (la Lletra grega "Ksi") per Edmund Landau. La ksi mínuscula de Landau $~\xi ~$ ("xi" en anglès) va ser definida per Landau com:

$\xi (s)={\tfrac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}s\right)\zeta (s)$

per $s\in \mathbb {C}$. Aquí, $\zeta (s)$ denotea la funció zeta de Riemann i $\Gamma (s)$ és la funció Gamma. L'equació funcional (o fórmula de reflexió) de la $~\xi ~$ de Landau és:

$\xi (1-s)=\xi (s)~.$

La funció original de Riemann és redefinida per Landau com a $~\Xi ~$ majúscula:

$\Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right)$

i obeeix l'equació funcional:

$\Xi (-z)=\Xi (z)~.$

Landau afirma que la funció $~\Xi ~$ de més amunt és la funció de Riemann originalment anotada com $~\xi ~$. Totes dues funcions són enteres i purament reals per tot argument.

Valors

La fórmula general per a enters positius parells és:

$\xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)$

on B_n denota l'n-èssim nombre de Bernoulli. Per exemple:

$\xi (2)={\frac {\pi }{6}}$

Representació en forma de sèrie

La funció $\xi$ té l'expansió en sèrie:

${\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},$

on

$\lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],$

i on la suma s'estén al llarg de ρ, els zeros no trivials de la funció zeta, en ordre de $|\Im (\rho )|$.

Aquesta expansió té un paper especialment important en el criteri de Li, que afirma que la hipòtesi de Riemann és equivalent a tenir λ_n > 0 per tot n positiu.

Producte de Hadamard

Una expansió simple de la funció ksi de Riemann com a producte infinit és:

$\xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!$

on ρ s'esté al llarg de les arrels de ξ.

Per assegurar convergència en l'expansió, el producte ha de ser fet al llarg d'"emparellaments" dels zeros, és a dir, els factor d'una parella de zeros de la forma ρ i 1−ρ s'han d'agrupar conjuntament.

Hipótesi de Riemann

Article principal: Hipòtesi de Riemann

Com s'ha assenyalat en diversos treballs d'Alain Connes entre d'altres, la hipòtesi de Riemann és equivalent a l'afirmació que la funció xi de Riemann és el determinant funcional de l'operador:

$-D^{2}+f(x)\,$

amb:

$f^{-1}(x)={\sqrt {(}}4\pi ){\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}$ així,

${\frac {\xi (1/2+iz)}{\xi (1/2)}}={\frac {\det(H-z^{2})}{\det(H)}}$,

la conjectura del qual està recolzada mitjançant diverses avaluacions numèriques.

Bibliografia

• Weisstein, Eric W., «Xi-Function» a MathWorld (en anglès).
• Keiper, J.B. «Power series expansions of Riemann's xi function». Mathematics of Computation, 58, 198, 1992, pàg. 765–773. Bibcode: 1992MaCom..58..765K. DOI: 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.