Geodèsica (relativitat general)

En la relativitat general, una geodèsica generalitza la noció d'una "línia recta" a l'espai-temps corbat. És important destacar que la línia mundial d'una partícula lliure de totes les forces externes i no gravitatòries és un tipus particular de geodèsica. En altres paraules, una partícula que es mou o cau lliurement es mou sempre al llarg d'una geodèsica.

Estructura espai-temps.

En la relativitat general, la gravetat no es pot considerar com una força sinó com una conseqüència d'una geometria corba de l'espai-temps on la font de curvatura és el tensor esforç-energia (que representa la matèria, per exemple). Així, per exemple, la trajectòria d'un planeta que orbita una estrella és la projecció d'una geodèsica de la geometria corba de l'espai-temps de quatre dimensions (4-D) al voltant de l'estrella a l'espai tridimensional (3-D).

L'equació geodèsica completa és

${d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\$

on s és un paràmetre escalar de moviment (per exemple, el temps propi) i $\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }$ són símbols de Christoffel (de vegades anomenats coeficients de connexió afins o coeficients de connexió Levi-Civita) simètrics en els dos índexs inferiors. Els índexs grecs poden prendre els valors: 0, 1, 2, 3 i la convenció de suma s'utilitza per als índexs repetits $\alpha$ i $\beta$. La quantitat del costat esquerre d'aquesta equació és l'acceleració d'una partícula, de manera que aquesta equació és anàloga a les lleis del moviment de Newton, que també proporcionen fórmules per a l'acceleració d'una partícula. Els símbols de Christoffel són funcions de les quatre coordenades espai-temps i, per tant, són independents de la velocitat o acceleració o d'altres característiques d'una partícula de prova el moviment de la qual està descrit per l'equació geodèsica.