Límit de velocitat quàntica

En mecànica quàntica, un límit de velocitat quàntica (QSL) és una limitació del temps mínim perquè un sistema quàntic evolucioni entre dos estats distingibles (ortogonals).^[1] Els teoremes QSL estan estretament relacionats amb les relacions d'incertesa temps-energia. El 1945, Leonid Mandelstam i Igor Tamm van derivar una relació d'incertesa temps-energia que limita la velocitat de l'evolució en termes de dispersió d'energia. Més de mig segle després, Norman Margolus i Lev Levitin van demostrar que la velocitat de l'evolució no pot superar l'energia mitjana, ^[2] un resultat conegut com el teorema de Margolus-Levitin. Els sistemes físics realistes en contacte amb un entorn es coneixen com a sistemes quàntics oberts i la seva evolució també està subjecta a QSL.^[3]^[4] De manera força notable, es va demostrar que els efectes ambientals, com la dinàmica no markoviana, poden accelerar els processos quàntics, ^[5] que es va verificar en un experiment QED de cavitat.^[6]

QSL s'ha utilitzat per explorar els límits de la computació ^[7]^[8] i la complexitat. El 2017, els QSL es van estudiar en un oscil·lador quàntic a alta temperatura.^[9] El 2018, es va demostrar que les QSL no es restringeixen al domini quàntic i que es mantenen límits similars en els sistemes clàssics.^[10]^[11] El 2021, tant els límits de Mandelstam-Tamm com els de Margolus-Levitin QSL es van provar simultàniament en un sol experiment ^[12] que va indicar que hi ha "dos règims diferents: un on el límit de Mandelstam-Tamm limita l'evolució en tot moment, i un segon, on es produeix un encreuament amb el límit Margolus-Levitin en temps més llargs".

Definicions prèvies

Els teoremes del límit de velocitat es poden enunciar per als estats purs i per als estats mixtes; prenen una forma més senzilla per als estats purs. Un estat pur arbitrari es pot escriure com una combinació lineal d'estats propis d'energia:

$|\psi \rangle =\sum _{n}c_{n}|E_{n}\rangle .$

La tasca és proporcionar un límit inferior per a l'interval de temps $t_{\perp }$ necessària per a l'estat inicial $|\psi \rangle$ per evolucionar cap a un estat ortogonal a $|\psi \rangle$ . L'evolució temporal d'un estat pur ve donada per l'equació de Schrödinger: $|\psi _{t}\rangle =\sum _{n}c_{n}e^{itE_{n}/\hbar }|E_{n}\rangle .$ L'ortogonalitat s'obté quan $\langle \psi _{0}|\psi _{t}\rangle =0$ i l'interval de temps mínim $t=t_{\perp }$ necessari per aconseguir aquesta condició s'anomena interval d'ortogonalització o temps d'ortogonalització.

Límit Mandelstam-Tamm

Per als estats purs, el teorema de Mandelstam–Tamm estableix que el temps mínim $t_{\perp }$ requerit perquè un estat evolucioni cap a un estat ortogonal està limitat a continuació:

$t_{\perp }\geq {\frac {\pi \hbar }{2\,\delta E}}={\frac {h}{4\,\delta E}}$ on

$(\delta E)^{2}=\left\langle \psi |H^{2}|\psi \right\rangle -(\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}(E_{n}-E_{m})^{2}$

Límit Margolus-Levitina

Per al cas d'un estat pur, Margolus i Levitin ^[13] obtenen un límit diferent, això

$\tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4\langle E\rangle }},$ on $\langle E\rangle$ és l'energia mitjana,

\langle E\rangle =E_{\text{avg}}=\langle \psi |H|\psi \rangle =\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}.

Aquesta forma s'aplica quan l'hammiltonià no depèn del temps i l'energia de l'estat fonamental es defineix com a zero.

Límit de Levitina-Toffoli

Un resultat de 2009 de Lev B. Levitin i Tommaso Toffoli afirma que la cota precisa del teorema de Mandelstam–Tamm només s'aconsegueix per a un estat qubit.^[14] Aquest és un estat de dos nivells en una superposició igual

$\left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|E_{0}\right\rangle +e^{i\varphi }\left|E_{1}\right\rangle \right)$ per als estats propis d'energia $E_{0}=0$ i $E_{1}=\pm \pi \hbar /\Delta t$ . Els estats $\left|E_{0}\right\rangle$ i $\left|E_{1}\right\rangle$ són únics fins a la degeneració del nivell energètic $E_{1}$ i un factor de fase arbitrari $\varphi .$ Aquest resultat és agut, ja que aquest estat també satisfà l'enllaç Margolus-Levitin, $E_{\text{avg}}=\delta E$ i així $t_{\perp }=\hbar \pi /2E_{\text{avg}}=\hbar \pi /2\delta E.$