Aquesta és una llista de transformacions canòniques de coordenades .
Siguin (x, y) les coordenades cartesianes estàndard, i r i θ los coordenades polars estàndard.
Per passar de coordenades polars a coordenades cartesianes
modifica
x
=
r
cos
θ
{\displaystyle x=r\,\cos \theta \quad }
y
=
r
sin
θ
{\displaystyle y=r\,\sin \theta \quad }
∂
(
x
,
y
)
∂
(
r
,
θ
)
=
(
cos
θ
−
r
sin
θ
sin
θ
r
cos
θ
)
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\,\sin \theta \\\sin \theta &r\,\cos \theta \end{pmatrix}}}
det
∂
(
x
,
y
)
∂
(
r
,
θ
)
=
r
{\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}=r}
Per passar de coordenades cartesianes a coordenades polars
modifica
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
θ
′
=
arctan
|
y
x
|
{\displaystyle \theta ^{\prime }=\arctan \left|{\frac {y}{x}}\right|}
Nota: al resoldre
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
0
<
θ
<
π
2
{\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}
θ
{\displaystyle \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
Si
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
θ
=
θ
′
{\displaystyle \theta =\theta ^{\prime }}
Si
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
θ
=
π
−
θ
′
{\displaystyle \theta =\pi -\theta ^{\prime }}
Si
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
θ
=
π
+
θ
′
{\displaystyle \theta =\pi +\theta ^{\prime }}
Si
θ
′
{\displaystyle \theta ^{\prime }}
θ
=
2
π
−
θ
′
{\displaystyle \theta =2\pi -\theta ^{\prime }}
Això cal fer-hi així perquè per a tots els valors de
θ
{\displaystyle \theta }
arctan
θ
{\displaystyle \arctan \theta }
−
π
2
<
θ
<
+
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <+{\frac {\pi }{2}}}
Fixeu-vos que també es pot fer servir
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
θ
=
2
arctan
y
x
+
r
{\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {y}{x+r}}}
De coordenades bipolars a coordenades cartesianes
modifica
x
=
a
sinh
τ
cosh
τ
−
cos
σ
{\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}
y
=
a
sin
σ
cosh
τ
−
cos
σ
{\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}
[ 1]
modifica
x
=
r
1
2
−
r
2
2
4
c
{\displaystyle x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{4c}}}
y
=
±
1
4
c
16
c
2
r
1
2
−
(
r
1
2
−
r
2
2
+
4
c
2
)
2
{\displaystyle y=\pm {\frac {1}{4c}}{\sqrt {16c^{2}r_{1}^{2}-(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+4c^{2})^{2}}}}
De coordenades bipolars de dos centres a coordenades polars
modifica
r
=
r
1
2
+
r
2
2
−
2
c
2
2
{\displaystyle r={\sqrt {\frac {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2}}{2}}}}
θ
=
arctan
[
8
c
2
(
r
1
2
+
r
2
2
−
2
c
2
)
r
1
2
−
r
2
2
−
1
]
{\displaystyle \theta =\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]}
On 2c és la distància entre els pols.
modifica
x
=
∫
cos
[
∫
κ
(
s
)
d
s
]
d
s
{\displaystyle x=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}
y
=
∫
sin
[
∫
κ
(
s
)
d
s
]
d
s
{\displaystyle y=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}
modifica
κ
=
x
′
y
″
−
y
′
x
″
(
x
′
2
+
y
′
2
)
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\frac {x'y''-y'x''}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}}
s
=
∫
a
t
x
′
2
+
y
′
2
d
t
{\displaystyle s=\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}
modifica
κ
=
r
2
+
2
r
′
2
−
r
r
″
(
r
2
+
r
′
2
)
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2r'^{2}-rr''}{(r^{2}+r'^{2})^{3/2}}}}
s
=
∫
a
ϕ
1
+
y
′
2
d
ϕ
{\displaystyle s=\int _{a}^{\phi }{\sqrt {1+y'^{2}}}\,d\phi }
Sigui (x, y, z) les coordenades cartesianes estàndard, i (ρ, θ, φ) les coordenades esfèriques, amb l'angle φ mesurat a partir de l'eix Z positiu. Com que θ té un recorregut de 360° cal aplicar les mateixes consideracions que en coordenades polars (de dues dimensions) sempre que es calculi a partir de la funció arctangent . φ té un recorregut de 180°, i va des de 0° fins a 180°, i no presenta cap problema quan es calcula a partir de la funció arccosinus , però cal anar amb compte si es fa servir una funció arctangent. Si, en la definició alternativa de coordenades esfèriques, es tria φ de forma que vagui des de −90° fins a +90°, en direcció oposada a la direcció prèvia, es pot calcular de manera única a partir de la funció arcsinus , però cal anar amb compte di es fa servir l'arctangent. En aquest cas totes les fórmules següents tots els arguments de φ han te tenir el sinus i el cosinus intercanviats i com a derivades també els signes menys i més s'han d'intercanviar.
Totes les fórmules que portin cap a una fracció amb zero al denominador, corresponen a casos especials de direccions al llarg dels eixos principals i a la pràctica se solucionen més fàcilment per observació.
modifica
x
=
ρ
sin
θ
cos
ϕ
{\displaystyle {x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \phi \quad }
y
=
ρ
sin
θ
sin
ϕ
{\displaystyle {y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \phi \quad }
z
=
ρ
cos
θ
{\displaystyle {z}=\rho \,\cos \theta \quad }
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
ρ
,
θ
,
ϕ
)
=
(
sin
θ
cos
ϕ
ρ
cos
θ
cos
ϕ
−
ρ
sin
θ
sin
ϕ
sin
θ
sin
ϕ
ρ
cos
θ
sin
ϕ
ρ
sin
θ
cos
ϕ
cos
θ
−
ρ
sin
θ
0
)
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\rho \cos \theta \cos \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}}
Per tant, l'element de volum és:
d
x
d
y
d
z
=
det
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
ρ
,
θ
,
ϕ
)
d
ρ
d
θ
d
ϕ
=
ρ
2
sin
θ
d
ρ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}d\rho \;d\theta \;d\phi =\rho ^{2}\sin \theta \;d\rho \;d\theta \;d\phi \;}
modifica
x
=
r
cos
θ
{\displaystyle {x}={r}\,\cos \theta }
y
=
r
sin
θ
{\displaystyle {y}={r}\,\sin \theta }
z
=
h
{\displaystyle {z}={h}\,}
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
r
,
θ
,
h
)
=
(
cos
θ
−
r
sin
θ
0
sin
θ
r
cos
θ
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
Per tant l'element de volum és:
d
x
d
y
d
z
=
det
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
r
,
θ
,
h
)
d
r
d
θ
d
h
=
r
d
r
d
θ
d
h
{\displaystyle dx\;dy\;dz=\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,h)}}dr\;d\theta \;dh={r}\;dr\;d\theta \;dh\;}
A partir de coordenades cartesianes
modifica
ρ
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle {\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
θ
=
arctan
(
x
2
+
y
2
z
)
=
arccos
(
z
x
2
+
y
2
+
z
2
)
{\displaystyle {\theta }=\arctan \left({\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right)=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)}
ϕ
=
arctan
(
y
x
)
=
arccos
(
x
x
2
+
y
2
)
=
arcsin
(
y
x
2
+
y
2
)
{\displaystyle {\phi }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)}
∂
(
ρ
,
θ
,
ϕ
)
∂
(
x
,
y
,
z
)
=
(
x
ρ
y
ρ
z
ρ
x
z
ρ
2
x
2
+
y
2
y
z
ρ
2
x
2
+
y
2
−
(
x
2
+
y
2
)
ρ
2
x
2
+
y
2
−
y
x
2
+
y
2
x
x
2
+
y
2
0
)
{\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\\end{pmatrix}}}
modifica
ρ
=
r
2
+
h
2
{\displaystyle {\rho }={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}
θ
=
θ
{\displaystyle {\theta }=\theta \quad }
ϕ
=
arctan
r
h
{\displaystyle {\phi }=\arctan {\frac {r}{h}}}
∂
(
ρ
,
θ
,
ϕ
)
∂
(
r
,
θ
,
h
)
=
(
r
r
2
+
h
2
0
h
r
2
+
h
2
0
1
0
−
h
r
2
+
h
2
0
r
r
2
+
h
2
)
{\displaystyle {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\theta ,h)}}={\begin{pmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\\0&1&0\\{\frac {-h}{r^{2}+h^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\end{pmatrix}}}
det
∂
(
ρ
,
θ
,
ϕ
)
∂
(
r
,
θ
,
h
)
=
1
r
2
+
h
2
{\displaystyle \det {\frac {\partial (\rho ,\theta ,\phi )}{\partial (r,\theta ,h)}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}
A partir de coordenades cartesianes
modifica
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
θ
=
arctan
y
x
+
π
u
0
(
−
x
)
sgn
y
{\displaystyle \theta =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y}
h
=
z
{\displaystyle h=z\quad }
∂
(
r
,
θ
,
h
)
∂
(
x
,
y
,
z
)
=
(
x
x
2
+
y
2
y
x
2
+
y
2
0
−
y
x
2
+
y
2
x
x
2
+
y
2
0
0
0
1
)
{\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
modifica
r
=
ρ
sin
ϕ
{\displaystyle r=\rho \sin \phi \,}
θ
=
θ
{\displaystyle \theta =\theta \,}
h
=
ρ
cos
ϕ
{\displaystyle h=\rho \cos \phi \,}
∂
(
r
,
θ
,
h
)
∂
(
ρ
,
θ
,
ϕ
)
=
(
sin
ϕ
0
ρ
cos
ϕ
0
1
0
cos
ϕ
0
−
ρ
sin
ϕ
)
{\displaystyle {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{pmatrix}\sin \phi &0&\rho \cos \phi \\0&1&0\\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{pmatrix}}}
det
∂
(
r
,
θ
,
h
)
∂
(
ρ
,
θ
,
ϕ
)
=
−
ρ
{\displaystyle \det {\frac {\partial (r,\theta ,h)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}=-\rho }
modifica
s
=
∫
0
t
x
′
2
+
y
′
2
+
z
′
2
d
t
{\displaystyle s=\int _{0}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\,dt}
κ
=
(
z
″
y
′
−
z
′
y
″
)
2
+
(
x
″
z
′
−
z
″
x
′
)
2
+
(
y
″
x
′
−
x
″
y
′
)
2
(
x
′
2
+
y
′
2
+
z
′
2
)
3
/
2
{\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-z'y'')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}
τ
=
z
‴
(
x
′
y
″
−
y
′
x
″
)
+
z
″
(
x
‴
y
′
−
x
′
y
‴
)
+
z
′
(
x
″
y
‴
−
x
‴
y
″
)
(
x
′
2
+
y
′
2
+
z
′
2
)
(
x
″
2
+
y
″
2
+
z
″
2
)
{\displaystyle \tau ={\frac {z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})(x''^{2}+y''^{2}+z''^{2})}}}
↑ Weisstein, Eric W.. "Bipolar Coordinates." Treasure Troves . 26 May 1999. Sociology and Anthropology China. 14 Feb 2007 «bbs.sachina.pku.edu.cn ». Arxivat de l'original el 2007-12-12. [Consulta: 30 setembre 2008].
![{\displaystyle \theta =\arctan \left[{\sqrt {{\frac {8c^{2}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2c^{2})}{r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}}-1}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010a0c267d31acc3d2a743ad7a94ee3e2efaacf9)
![{\displaystyle x=\int \cos \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02cff907588352a0c15c8e8ecb7e972c745f378f)
![{\displaystyle y=\int \sin \left[\int \kappa (s)\,ds\right]ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71982132e04a316224eeb7859edb3ae157a2f402)
