Obre el menú principal

Llista de transformacions canòniques de coordenades

article de llista de Wikimedia

BidimensionalsModifica

Siguin (x, y) les coordenades cartesianes estàndard, i r i θ los coordenades polars estàndard.

Per passar de coordenades polars a coordenades cartesianesModifica

 
 
 
 

Per passar de coordenades cartesianes a coordenades polarsModifica

 
 

Nota: al resoldre   s'obté l'angle resultant en el primer quadrant ( ). Per torbar  , cal acudir al sistema de coordenades cartesianes original, determinar el quadrant en el que està   (per exemple el punt de coordenades cartesianes (3,-3) està al quart quadrant), i llavors fer servir les següents equacions per calcular  :

Si   està al primer quadrant:
 
Si   està al segon quadrant:
 
Si   està al tercer quadrant:
 
Si   està al quart quadrant:
 

Això cal fer-hi així perquè per a tots els valors de  ,   només està definit per  

Fixeu-vos que també es pot fer servir

 
 

De coordenades bipolars a coordenades cartesianesModifica

Article principal: coordenades bipolars
 
 

De coordenades bipolars de dos centres a coordenades cartesianes[1]Modifica

 
 

De coordenades bipolars de dos centres a coordenades polarsModifica

 
 

On 2c és la distància entre els pols.

De coordenades de l'equació de Cesàro a coordenades cartesianesModifica

Article principal: equació de Cesàro
 
 

Curvatura i longitud de l'arc a partir de coordenades cartesianesModifica

 

 

Curvatura i longitud de l'arc a partir de coordenades polarsModifica

 

 

TridimensionalsModifica

Sigui (x, y, z) les coordenades cartesianes estàndard, i (ρ, θ, φ) les coordenades esfèriques, amb l'angle φ mesurat a partir de l'eix Z positiu. Com que θ té un recorregut de 360° cal aplicar les mateixes consideracions que en coordenades polars (de dues dimensions) sempre que es calculi a partir de la funció arctangent. φ té un recorregut de 180°, i va des de 0° fins a 180°, i no presenta cap problema quan es calcula a partir de la funció arccosinus, però cal anar amb compte si es fa servir una funció arctangent. Si, en la definició alternativa de coordenades esfèriques, es tria φ de forma que vagui des de −90° fins a +90°, en direcció oposada a la direcció prèvia, es pot calcular de manera única a partir de la funció arcsinus, però cal anar amb compte di es fa servir l'arctangent. En aquest cas totes les fórmules següents tots els arguments de φ han te tenir el sinus i el cosinus intercanviats i com a derivades també els signes menys i més s'han d'intercanviar.

Totes les fórmules que portin cap a una fracció amb zero al denominador, corresponen a casos especials de direccions al llarg dels eixos principals i a la pràctica se solucionen més fàcilment per observació.

A coordenades cartesianesModifica

A partir de coordenades esfèriquesModifica

Article principal: coordenades esfèriques
 
 
 
 

Per tant, l'element de volum és:

 

=A partir de coordenades cilíndriquesModifica

Article principal: coordenades cilíndriques
 
 
 
 

Per tant l'element de volum és:

 

A coordenades esfèriquesModifica

A partir de coordenades cartesianesModifica

 
 
 


 

A partir de coordenades cilíndriquesModifica

 
 
 
 
 

A coordenades cilíndriquesModifica

A partir de coordenades cartesianesModifica

 
 
 
 

A partir de coordenades esfèriquesModifica

 
 
 
 
 

Element de longitud de l'arc, curvatura i torsió a partir de coordenades cartesianesModifica

 
 
 

ReferènciesModifica

  1. Weisstein, Eric W.. "Bipolar Coordinates." Treasure Troves. 26 May 1999. Sociology and Anthropology China. 14 Feb 2007 «bbs.sachina.pku.edu.cn». [Enllaç no actiu]