Sigui l'equació de quart grau
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}
s'ha de reduir a la seva forma reduïda, fent una transformació de Tschirnhaus , per tant això resulta en el següent:
w
4
+
r
w
2
+
s
w
+
t
=
0
{\displaystyle w^{4}+rw^{2}+sw+t=0\,}
on
r
=
c
a
−
3
b
2
8
a
2
=
8
a
c
−
3
b
2
8
a
2
{\displaystyle r={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}
s
=
d
a
−
b
c
2
a
2
+
b
3
8
a
3
=
b
3
−
4
a
b
c
+
8
a
2
d
8
a
3
{\displaystyle s={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}
t
=
e
a
−
b
d
4
a
2
+
b
2
c
16
a
3
−
3
b
4
256
a
4
=
256
a
3
e
−
64
a
2
b
d
+
16
a
b
2
c
−
3
b
4
256
a
4
{\displaystyle t={\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}}
Aquesta equació de quart grau es factoritza en dos polinomis quadràtics:
(
w
2
+
α
w
+
β
)
(
w
2
−
α
w
+
γ
)
=
0
{\displaystyle (w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0\,}
A l'efectuar el producte i relacionar-lo amb l'equació quàrtica reduïda, obtenim el següent sistema d'equacions :
{
β
+
γ
−
α
2
=
r
α
(
γ
−
β
)
=
s
β
γ
=
t
{\displaystyle {\begin{cases}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=r\\\alpha (\gamma -\beta )=s\\\beta \gamma =t\end{cases}}}
En aquest sistema, després de diverses operacions, obtenim una equació que aparentment és de sisè grau :
α
6
+
2
r
α
4
+
(
r
2
−
4
t
)
α
2
−
s
2
=
0
{\displaystyle \alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+(r^{2}-4t)\alpha ^{2}-s^{2}=0}
que en termes d'
α
2
{\displaystyle \alpha ^{2}}
equació cúbica , per tant substituïm
α
2
{\displaystyle \alpha ^{2}}
y
{\displaystyle y}
α
2
=
y
→
y
3
+
2
r
y
2
+
(
r
2
−
4
t
)
y
−
s
2
=
0
{\displaystyle \alpha ^{2}=y\rightarrow y^{3}+2ry^{2}+(r^{2}-4t)y-s^{2}=0}
que pot ser resolta pel mètode de Cardano (en cas que l'equació tingui dues o tres arrels reals , es pren la primera arrel com a primera prioritat), on
y
{\displaystyle y}
cúbica resolvent .
Després de fer càlculs posteriors, obtenim les quatre solucions de l'equació original:
x
1
=
y
+
−
y
−
2
r
−
2
s
y
2
−
b
4
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}
x
2
=
y
−
−
y
−
2
r
−
2
s
y
2
−
b
4
a
{\displaystyle x_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}
x
3
=
−
y
+
−
y
−
2
r
+
2
s
y
2
−
b
4
a
{\displaystyle x_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}
x
4
=
−
y
−
−
y
−
2
r
+
2
s
y
2
−
b
4
a
{\displaystyle x_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}
Donada l'equació quàrtica
a
x
4
+
b
x
3
+
c
x
2
+
d
x
+
e
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}
Dividim l'equació inicial per la component quàrtica, obtenint:
x
4
+
b
a
x
3
+
c
a
x
2
+
d
a
x
+
e
a
=
0
{\displaystyle x^{4}+{\frac {b}{a}}x^{3}+{\frac {c}{a}}x^{2}+{\frac {d}{a}}x+{\frac {e}{a}}=0\,}
Procedim a substituir
x
=
w
−
b
4
a
{\displaystyle x=w-{\frac {b}{4a}}\,}
(
w
−
b
4
a
)
4
+
b
a
(
w
−
b
4
a
)
3
+
c
a
(
w
−
b
4
a
)
2
+
d
a
(
w
−
b
4
a
)
+
e
a
=
0
{\displaystyle \left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {b}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+{\frac {c}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+{\frac {d}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {e}{a}}=0}
on
(
w
−
b
4
a
)
4
=
w
4
−
b
w
3
a
+
3
b
2
w
2
8
a
2
−
b
3
w
16
a
3
+
b
4
256
a
4
{\displaystyle \left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}=w^{4}-{\frac {bw^{3}}{a}}+{\frac {3b^{2}w^{2}}{8a^{2}}}-{\frac {b^{3}w}{16a^{3}}}+{\frac {b^{4}}{256a^{4}}}}
b
a
(
w
−
b
4
a
)
3
=
b
w
3
a
−
3
b
2
w
2
4
a
2
+
3
b
w
3
16
a
3
−
b
4
64
a
4
{\displaystyle {\frac {b}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}={\frac {bw^{3}}{a}}-{\frac {3b^{2}w^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {3bw^{3}}{16a^{3}}}-{\frac {b^{4}}{64a^{4}}}}
c
a
(
w
−
b
4
a
)
2
=
c
w
2
a
−
b
c
w
2
a
2
+
b
2
c
16
a
3
{\displaystyle {\frac {c}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}={\frac {cw^{2}}{a}}-{\frac {bcw}{2a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}}
d
a
(
w
−
b
4
a
)
=
d
w
a
−
b
d
4
a
2
{\displaystyle {\frac {d}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)={\frac {dw}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}}
En efecte, al desenvolupar la suma algebraica dels resultats dels productes presents, el terme
−
b
a
w
3
{\displaystyle -{\frac {b}{a}}w^{3}\,}
b
a
w
3
{\displaystyle {\frac {b}{a}}w^{3}\,}
w
3
{\displaystyle w^{3}\,}
w
4
+
c
z
2
a
−
3
b
2
w
2
8
a
2
+
2
b
3
w
16
a
3
−
b
c
w
2
a
2
+
d
w
a
+
e
a
−
b
d
4
a
2
+
b
2
c
16
a
3
−
3
b
4
256
a
4
=
0
{\displaystyle w^{4}+{\frac {cz^{2}}{a}}-{\frac {3b^{2}w^{2}}{8a^{2}}}+{\frac {2b^{3}w}{16a^{3}}}-{\frac {bcw}{2a^{2}}}+{\frac {dw}{a}}+{\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}=0}
Indiquem factor comú en els termes amb
w
{\displaystyle w}
w
4
+
(
c
a
−
3
b
2
8
a
2
)
w
2
+
(
d
a
−
b
c
2
a
2
+
b
3
8
a
3
)
w
+
(
e
a
−
b
d
4
a
2
+
b
2
c
16
a
3
−
3
b
4
256
a
4
)
=
0
{\displaystyle w^{4}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)w^{2}+\left({\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}\right)w+\left({\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}\right)=0}
Llavors, d'acord a les definicions recentment introduïdes, escriurem l'expressió simplement com
w
4
+
r
w
2
+
s
w
+
t
=
0
{\displaystyle w^{4}+rw^{2}+sw+t=0\,}
on aquesta expressió és l'equació quàrtica reduïda, les components es donen per:
r
=
c
a
−
3
b
2
8
a
2
=
8
a
c
−
3
b
2
8
a
2
{\displaystyle r={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}
s
=
d
a
−
b
c
2
a
2
+
b
3
8
a
3
=
b
3
−
4
a
b
c
+
8
a
2
d
8
a
3
{\displaystyle s={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}
t
=
e
a
−
b
d
4
a
2
+
b
2
c
16
a
3
−
3
b
4
256
a
4
=
256
a
3
e
−
64
a
2
b
d
+
16
a
b
2
c
−
3
b
4
256
a
4
{\displaystyle t={\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}}
En aquest moment, la idea important és factoritzar l'anterior en
(
w
2
+
α
w
+
β
)
(
w
2
−
α
w
+
γ
)
=
0
{\displaystyle (w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0\,}
w
4
+
(
β
+
γ
−
α
2
)
w
2
+
[
α
(
γ
−
β
)
]
w
+
β
γ
=
0
{\displaystyle w^{4}+(\beta +\gamma -\alpha ^{2})w^{2}+[\alpha (\gamma -\beta )]w+\beta \gamma \,=0}
A l'identificar l'anterior amb els termes
r
{\displaystyle r}
s
{\displaystyle s}
t
{\displaystyle t}
β
+
γ
−
α
2
=
r
{\displaystyle \beta +\gamma -\alpha ^{2}=r\,}
α
(
γ
−
β
)
=
s
{\displaystyle \alpha (\gamma -\beta )=s\,}
β
γ
=
t
{\displaystyle \beta \gamma =t\,}
Si volem trobar el valor de
α
{\displaystyle \alpha }
{
β
+
γ
−
α
2
=
r
α
(
γ
−
β
)
=
s
β
γ
=
t
{\displaystyle {\begin{cases}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=r\\\alpha (\gamma -\beta )=s\\\beta \gamma =t\end{cases}}}
Passem
α
2
{\displaystyle \alpha ^{2}}
β
+
γ
=
r
+
α
2
{\displaystyle \beta +\gamma =r+\alpha ^{2}}
Passem
α
{\displaystyle \alpha }
γ
−
β
=
s
α
{\displaystyle \gamma -\beta ={\frac {s}{\alpha }}}
Amb els resultats obtinguts, formem un nou sistema d'equacions.
{
β
+
γ
=
r
+
α
2
γ
−
β
=
s
α
{\displaystyle {\begin{cases}\beta +\gamma =r+\alpha ^{2}\\\gamma -\beta ={\frac {s}{\alpha }}\end{cases}}}
Sumem i restem les dues equacions del nou sistema, i unim els resultats en un altre nou sistema:
{
2
β
=
r
+
α
2
−
s
α
2
γ
=
r
+
α
2
+
s
α
{\displaystyle {\begin{cases}2\beta =r+\alpha ^{2}-{\frac {s}{\alpha }}\\2\gamma =r+\alpha ^{2}+{\frac {s}{\alpha }}\end{cases}}}
Multipliquem les equacions de sistema recent, obtenint:
4
β
γ
=
α
4
+
2
r
α
2
+
r
2
−
s
2
α
2
{\displaystyle 4\beta \gamma =\alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}}
Ens adonem que existeix
β
γ
{\displaystyle \beta \gamma }
t
{\displaystyle t}
4
t
=
α
4
+
2
r
α
2
+
r
2
−
s
2
α
2
{\displaystyle 4t=\alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}}
Passem
4
t
{\displaystyle 4t}
α
4
+
2
r
α
2
+
r
2
−
s
2
α
2
−
4
t
=
0
{\displaystyle \alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}-4t=0}
Com que hi ha un terme fraccionari, procurem multiplicar l'equació per
α
2
{\displaystyle \alpha ^{2}}
α
6
+
2
r
α
4
+
r
2
α
2
−
s
2
−
4
t
α
2
=
0
{\displaystyle \alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+r^{2}\alpha ^{2}-s^{2}-4t\alpha ^{2}=0}
Finalment, indiquem factor comú en
r
2
α
2
{\displaystyle r^{2}\alpha ^{2}}
4
t
α
2
{\displaystyle 4t\alpha ^{2}}
α
6
+
2
r
α
4
+
(
r
2
−
4
t
)
α
2
−
s
2
=
0
{\displaystyle \alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+(r^{2}-4t)\alpha ^{2}-s^{2}=0}
Fem la substitució
α
2
=
y
{\displaystyle \alpha ^{2}=y}
cúbica resolvent ):
y
3
+
2
r
y
2
+
(
r
2
−
4
t
)
y
−
s
2
=
0
{\displaystyle y^{3}+2ry^{2}+(r^{2}-4t)y-s^{2}=0\,}
Llavors, sigui
y
{\displaystyle y}
α
{\displaystyle \alpha }
α
2
=
y
→
α
=
y
,
y
>
0
{\displaystyle \alpha ^{2}=y\rightarrow \alpha ={\sqrt {y}},y>0}
Per tant, hem trobat la solució per
α
{\displaystyle \alpha }
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
2
β
=
r
+
y
−
s
y
→
β
=
r
+
y
−
s
y
2
{\displaystyle 2\beta =r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}\rightarrow \beta ={\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}}
2
γ
=
r
+
y
+
s
y
→
γ
=
r
+
y
+
s
y
2
{\displaystyle 2\gamma =r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}\rightarrow \gamma ={\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}}
Reemplacem els valors d'
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
(
w
2
+
α
w
+
β
)
(
w
2
−
α
w
+
γ
)
=
0
{\displaystyle (w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0}
(
w
2
+
y
w
+
r
+
y
−
s
y
2
)
(
w
2
−
y
w
+
r
+
y
+
s
y
2
)
=
0
{\displaystyle \left(w^{2}+{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)\left(w^{2}-{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=0}
Apliquem la llei del producte nul en tots dos factors, això els separa en dues equacions quadràtiques diferents:
w
2
+
y
w
+
r
+
y
−
s
y
2
=
0
{\displaystyle w^{2}+{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}=0}
w
2
−
y
w
+
r
+
y
+
s
y
2
=
0
{\displaystyle w^{2}-{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}=0}
Calculem el discriminant de cada equació quadràtica:
Δ
a
=
b
2
−
4
a
c
=
(
y
)
2
−
4
(
1
)
(
r
+
y
−
s
y
2
)
=
−
y
−
2
r
+
2
s
y
{\displaystyle \Delta _{a}=b^{2}-4ac=\left({\sqrt {y}}\right)^{2}-4(1)\left({\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}
Δ
b
=
b
2
−
4
a
c
=
(
−
y
)
2
−
4
(
1
)
(
r
+
y
+
s
y
2
)
=
−
y
−
2
r
−
2
s
y
{\displaystyle \Delta _{b}=b^{2}-4ac=\left(-{\sqrt {y}}\right)^{2}-4(1)\left({\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}
Resolem les dues equacions per separat:
w
1
,
2
=
−
b
±
Δ
a
2
a
=
−
y
±
−
y
−
2
r
+
2
s
y
2
{\displaystyle w_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta _{a}}}}{2a}}={\frac {-{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}
w
3
,
4
=
−
b
±
Δ
b
2
a
=
y
±
−
y
−
2
r
−
2
s
y
2
{\displaystyle w_{3,4}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta _{b}}}}{2a}}={\frac {{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}
Llavors les solucions de l'equació cuártica reduïda són:
w
1
=
y
+
−
y
−
2
r
−
2
s
y
2
{\displaystyle w_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}
w
2
=
y
−
−
y
−
2
r
−
2
s
y
2
{\displaystyle w_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}
w
3
=
−
y
+
−
y
−
2
r
+
2
s
y
2
{\displaystyle w_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}
w
4
=
−
y
−
−
y
−
2
r
+
2
s
y
2
{\displaystyle w_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}
I al mateix temps les solucions de l'equació original són:
x
1
=
y
+
−
y
−
2
r
−
2
s
y
2
−
b
4
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}
x
2
=
y
−
−
y
−
2
r
−
2
s
y
2
−
b
4
a
{\displaystyle x_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}
x
3
=
−
y
+
−
y
−
2
r
+
2
s
y
2
−
b
4
a
{\displaystyle x_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}
x
4
=
−
y
−
−
y
−
2
r
+
2
s
y
2
−
b
4
a
{\displaystyle x_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}
![{\displaystyle w^{4}+(\beta +\gamma -\alpha ^{2})w^{2}+[\alpha (\gamma -\beta )]w+\beta \gamma \,=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e6b59d15cc0ffe6cf43430fb012499d256d899)
PDF) (en anglès). Kentucky Mathematical Association of Two Year Colleges.
