Obre el menú principal

En càlcul numèric, el mètode de Newton, o mètode de Newton-Raphson, és un algorisme per tal de trobar aproximacions del zero d'una funció amb valors reals.

HistòriaModifica

El mètode Newton va ser descobert per Isaac Newton i publicat al Method of Fluxions el 1736. Encara que aquest mètode també sigui descrit per Joseph Raphson a Analysis Aequationum el 1690, cal dir que el Method of Fluxions ja havia estat escrit el 1671.

El mètodeModifica

Suposem que la funció   és contínuament diferenciable dues vegades a l'interval  , o sigui  . I existeix un zero de la funció en aquest interval. Direm que   és la solució si  .

Sigui   una aproximació a la solució   tal que  . Si escrivim el polinomi de Taylor de primer grau per a   al voltant de  , tindrem:  

Però com que  , aquest anterior polinomi de Taylor, el podem escriure de la forma:  .

En aquest punt, el mètode de Newton suposa que el terme   serà menyspreable, i que:  ,

i aïllant  :

 ,

que ha de ser una millor aproximació cap a  . Anomenem   a aquesta millor aproximació. Per inducció definim una successió de valors de  , que es pot escriure de la forma:  , amb  .

Imatge gràficaModifica

L'aproximació gràfica és la següent: S'escull un valor de l'abscissa raonablement pròxim a l'autèntic zero. En aquest punt, es reemplaça la corba per la seva tangent, i es calcula el zero d'aquesta recta tangent. Aquest zero, normalment, és més pròxim al zero de la funció, que el valor inicial. Aquest procés es reitera, fins a arribar a una aproximació que es dóna per bona. En el cas de la gràfica, a partir de  , s'anirà trobant la successió  , fins a arribar a un cert valor que es donarà com a solució de  .

ObservacionsModifica

La fallada d'aquest mètode, normalment ve motivada per l'anul·lació del valor de la derivada en algun punt entre el valor del zero de la funció i el valor   inicial que s'hagi agafat com aproximació d'arrencada. No cal dir que l'eficiència d'aquest mètode també està a saber trobar una aproximació inicial suficientment pròxima a la solució.

ExempleModifica

Suposem que es vulgui trobar un valor de la   que fa que  . Es pot intuir que existeix un valor entre 0 i 1 que ha de complir aquesta condició.

La derivada de la funció és:  , sempre és >0.

Es pot agafar com a valor d'inici:  .

I d'aquí:

 

 

 

 

Valor que evidentment soluciona el problema, dins l'aproximació en què s'ha treballat.

AlgorismeModifica

Algorisme Mètode_Newton
funció func(x:real): real; /retorna el valor de la funció en x.
funció deriv(x:real): real;/retorna el valor de la derivada en x.
 
var.x0=W: real;/W allunyat de V, per evitar que |x0-x1|<Tol.
   x1=V: real;	/V=aproximació inicial.
   Tol: real;/Tol=marge màxim d'error que s'acceptarà.
   n=N: enter;/controla el número d'iteracions, màxim N.
 
fer 
   mentre [n>0] i [|x0-x1|>Tol] fer
      x0=x1;
      x1=x0-func(x0)/deriv(x0); 
      n=n-1;
   fi mentre;
   si n>0
      SORTIDA=x1;
   altrament
      SORTIDA=ERROR;
   fi si;
fi procés;

GeneralitzacióModifica

Es pot també utilitzar el mètode de Newton per tal de resoldre sistemes de n equacions (generalment no lineals), això representa trobar els zeros de les funcions contínuament derivables  .

Si designem per   la matriu jacobiana d'aquest sistema de funcions, el mètode de Newton en aquest cas, es pot escriure amb el següent procés iteratiu:

 .

Expressió que recorda força l'anterior.

Vegeu tambéModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Mètode de Newton