Donada una equació diferencial de la forma
u
″
+
p
(
x
)
u
′
+
q
(
x
)
u
=
f
(
x
)
{\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)\,}
es defineix l'operador lineal
L
=
D
2
+
p
(
x
)
D
+
q
(
x
)
{\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)\,}
on D representa l'operador diferencial . S'ha de resoldre, doncs, l'equació
L
u
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle Lu(x)=f(x)}
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
L
{\displaystyle L}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Suposant que es tenen dues solucions linealment independents per l'equació diferencial donada, u 1 i u ₂. Sigui W el Wronskià d'aquestes dues funcions, i W sigui diferent de zero (les solucions són linealment independents).
Es busca la solució general a l'equació diferencial
u
G
(
x
)
{\displaystyle u_{G}(x)}
u
G
(
x
)
=
A
(
x
)
u
1
(
x
)
+
B
(
x
)
u
2
(
x
)
.
{\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).\,}
Aquí,
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
u
1
(
x
)
{\displaystyle u_{1}(x)}
u
2
(
x
)
{\displaystyle u_{2}(x)}
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
L
u
G
(
x
)
=
0
{\displaystyle Lu_{G}(x)=0}
A =A (x ) i B =B (x ) siguin de la forma
A
′
(
x
)
u
1
(
x
)
+
B
′
(
x
)
u
2
(
x
)
=
0.
{\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.\,}
Ara,
u
G
′
(
x
)
=
(
A
(
x
)
u
1
(
x
)
+
B
(
x
)
u
2
(
x
)
)
′
=
(
A
(
x
)
u
1
(
x
)
)
′
+
(
B
(
x
)
u
2
(
x
)
)
′
{\displaystyle u_{G}'(x)=(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x))'=(A(x)u_{1}(x))'+(B(x)u_{2}(x))'\,}
=
A
′
(
x
)
u
1
(
x
)
+
A
(
x
)
u
1
′
(
x
)
+
B
′
(
x
)
u
2
(
x
)
+
B
(
x
)
u
2
′
(
x
)
{\displaystyle =A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\,}
=
A
′
(
x
)
u
1
(
x
)
+
B
′
(
x
)
u
2
(
x
)
+
A
(
x
)
u
1
′
(
x
)
+
B
(
x
)
u
2
′
(
x
)
{\displaystyle =A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\,}
i com que es requereix la condició de sobre, llavors es té que
u
G
′
(
x
)
=
A
(
x
)
u
1
′
(
x
)
+
B
(
x
)
u
2
′
(
x
)
{\displaystyle u_{G}'(x)=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\,}
Derivant un altre cop (i ometent passos intermedis)
u
G
″
(
x
)
=
A
(
x
)
u
1
″
(
x
)
+
B
(
x
)
u
2
″
(
x
)
+
A
′
(
x
)
u
1
′
(
x
)
+
B
′
(
x
)
u
2
′
(
x
)
{\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\,}
Ara es pot escriure l'acció de L sobre u G
L
u
G
=
A
(
x
)
L
u
1
(
x
)
+
B
(
x
)
L
u
2
(
x
)
+
A
′
(
x
)
u
1
′
(
x
)
+
B
′
(
x
)
u
2
′
(
x
)
{\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\,}
Com que u 1 i u ₂ són solucions, llavors
L
u
G
=
A
′
(
x
)
u
1
′
(
x
)
+
B
′
(
x
)
u
2
′
(
x
)
{\displaystyle Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\,}
Es té el sistema d'equacions
(
u
1
(
x
)
u
2
(
x
)
u
1
′
(
x
)
u
2
′
(
x
)
)
(
A
′
(
x
)
B
′
(
x
)
)
=
(
0
f
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}}
Desenvolupant,
(
A
′
(
x
)
u
1
(
x
)
+
B
′
(
x
)
u
2
(
x
)
A
′
(
x
)
u
1
′
(
x
)
+
B
′
(
x
)
u
2
′
(
x
)
)
=
(
0
f
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}}
Per tant, el sistema de sobre determina les condicions
A
′
(
x
)
u
1
(
x
)
+
B
′
(
x
)
u
2
(
x
)
=
0
{\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0\,}
A
′
(
x
)
u
1
′
(
x
)
+
B
′
(
x
)
u
2
′
(
x
)
=
L
u
G
=
f
{\displaystyle A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f\,}
Es troben A (x ) i B (x ) d'aquestes condicions, per tant, donades
(
u
1
(
x
)
u
2
(
x
)
u
1
′
(
x
)
u
2
′
(
x
)
)
(
A
′
(
x
)
B
′
(
x
)
)
=
(
0
f
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}}
es pot resoldre per (A ′(x ), B ′(x ))T
(
A
′
(
x
)
B
′
(
x
)
)
=
(
u
1
(
x
)
u
2
(
x
)
u
1
′
(
x
)
u
2
′
(
x
)
)
−
1
(
0
f
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}}
=
1
W
(
u
2
′
(
x
)
−
u
2
(
x
)
−
u
1
′
(
x
)
u
1
(
x
)
)
(
0
f
)
{\displaystyle ={1 \over W}{\begin{pmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}}
Finalment,
A
′
(
x
)
=
−
1
W
u
2
(
x
)
f
(
x
)
,
B
′
(
x
)
=
1
W
u
1
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle A'(x)=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),\;B'(x)={1 \over W}u_{1}(x)f(x)}
A
(
x
)
=
−
∫
1
W
u
2
(
x
)
f
(
x
)
d
x
,
B
(
x
)
=
∫
1
W
u
1
(
x
)
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,dx,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,dx}
Mentre les equacions homogènies són relativament fàcils de resoldre, aquest mètode permet el càlcul dels coeficients de la solució general de l'equació particular, i per tant es pot determinar la solució general completa.
Cal tenir en compte que
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
constant d'integració ); es podrien esperar dues constants d'integració perquè l'equació original era de segon ordre. Afegir una constant a
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
B
(
x
)
{\displaystyle B(x)}
L
u
G
(
x
)
{\displaystyle Lu_{G}(x)}
L
{\displaystyle L}
lineal .
Donada l'equació diferencial
y
″
+
4
y
′
+
4
y
=
cosh
x
{\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh {x}\;\!}
Es vol trobar la solució general de l'equació, això és, trobar solucions a l'equació diferencial homogènia
y
″
+
4
y
′
+
4
y
=
0
{\displaystyle y''+4y'+4y=0\;\!}
Traiem l'equació característica
λ
2
+
4
λ
+
4
=
(
λ
+
2
)
2
=
0
{\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0\;\!}
λ
=
−
2
,
−
2
{\displaystyle \lambda =-2,-2\;\!}
Com que hi ha una arrel repetida, s'ha d'introduir un factor de x a una solució per assegurar que siguin linealment independents.
S'obtenen, doncs, u 1 =e -2x , i u ₂=xe -2x . El Wronskià d'aquestes dues funcions és
|
e
−
2
x
x
e
−
2
x
−
2
e
−
2
x
−
e
−
2
x
(
2
x
−
1
)
|
=
−
e
−
2
x
e
−
2
x
(
2
x
−
1
)
+
2
x
e
−
2
x
e
−
2
x
{\displaystyle {\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}}
=
−
e
−
4
x
(
2
x
−
1
)
+
2
x
e
−
4
x
=
(
−
2
x
+
1
+
2
x
)
e
−
4
x
=
e
−
4
x
{\displaystyle =-e^{-4x}(2x-1)+2xe^{-4x}=(-2x+1+2x)e^{-4x}=e^{-4x}\;\!}
Es busquen les funcions A (x ) i B (x ) tal que A (x )u 1 +B (x )u ₂ sigui una solució general de l'equació particular. Només queda calcular les integrals
A
(
x
)
=
−
∫
1
W
u
2
(
x
)
f
(
x
)
d
x
,
B
(
x
)
=
∫
1
W
u
1
(
x
)
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,dx,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,dx}
això és,
A
(
x
)
=
−
∫
1
e
−
4
x
x
e
−
2
x
cosh
x
d
x
=
−
∫
x
e
2
x
cosh
x
d
x
=
−
1
18
e
x
(
9
(
x
−
1
)
+
e
2
x
(
3
x
−
1
)
)
+
C
1
{\displaystyle A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh {x}\,dx=-\int xe^{2x}\cosh {x}\,dx=-{1 \over 18}e^{x}(9(x-1)+e^{2x}(3x-1))+C_{1}}
B
(
x
)
=
∫
1
e
−
4
x
e
−
2
x
cosh
x
d
x
=
∫
e
2
x
cosh
x
d
x
=
1
6
e
x
(
3
+
e
2
x
)
+
C
2
{\displaystyle B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh {x}\,dx=\int e^{2x}\cosh {x}\,dx={1 \over 6}e^{x}(3+e^{2x})+C_{2}}
on
C
1
{\displaystyle C_{1}}
C
2
{\displaystyle C_{2}}
